Zeige die invertierung

Question

Aufgabe:

Seien A, B und C nichtleere Mengen und f : A → B und g : B →C beide invertierbar. Zeigen Sie, dass
g ◦ f : A →C invertierbar ist mit (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Könnte mir jemand das mit Rechenweg aufschlüsseln ?

Problem/Ansatz:

Ansatz habe ich keinen da ich das Thema noch nicht komplett verstanden habe

Answer 1

g ◦ f : A →C invertierbar ist mit (g ◦ f)⁻¹ = f⁻¹ ◦ g⁻¹.

Du brauchst nur zu zeigen, dass h=  f⁻¹ ◦ g⁻¹ eine Abbildung

von C nach A ist, für die gilt h o (gof)  = id_A .

Sei also a ∈ A . Dann gilt  (h o (gof))(a)

          = h (   g(f(a))   )

          = (  f^(−1) ◦ g^(−1)) (  g(f(a) )

          = f^(-1)  (    g^(−1)  (  g(f(a)) )

=  f^(-1)  (    g^(−1) o   g) (f(a) )   )  weil   g^(−1) o g = id_B also

=  f^(-1) (f(a) )   = a    weil f^(−1) o f = id_A     q.e.d.