Berechnen Sie die das Kurvenintegral Integral u dx entlang C

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die das Kurvenintegral Integral u dx entlang C

u = \( \begin{pmatrix} -y*\sqrt[2]{x^2-y^2}\\x \end{pmatrix} \)

C = \( \begin{pmatrix} \sqrt[2]{t^2+1}\\t \end{pmatrix} \)

0≤t≤ (e-e^-1)/2

Ansatz:

Ich habe die Parametrisirung eingesetzt und bis

\( \int\limits_{0}^{e-e^-1/2} -t^2/ \sqrt[2]{t^2+1} + \sqrt[2]{t^2+1} \) gekommen, jedoch ist das Integral nicht einfach zu lösen. Gibt es da vlt einen Trick das BSp anders u lösen.

Answer 1

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg, dein Integral ist korrekt. Zur Berechnung würde ich so vorgehen:

$$I=\int\limits_0^{\frac{e-1/e}{2}}\left(-\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}+\sqrt{t^2+1}\right)dt=\int\limits_0^{\frac{e-1/e}{2}}\left(\frac{-t^2}{\sqrt{t^2+1}}+\frac{\sqrt{t^2+1}\,\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{t^2+1}}\right)dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{\frac{e-1/e}{2}}\left(\frac{-t^2}{\sqrt{t^2+1}}+\frac{t^2+1}{\sqrt{t^2+1}}\right)dt=\int\limits_0^{\frac{e-1/e}{2}}\frac{-t^2+t^2+1}{\sqrt{t^2+1}}dt=\int\limits_0^{\frac{e-1/e}{2}}\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}dt$$Das verbliebene Integral ist ein Standard-Integral:$$I=\left[\operatorname{arcsinh}(t)\right]_0^{\frac{e-1/e}{2}}=1-0=1$$