Hallo!
Ich habe weitere Aufgaben zu Kurvenintegrale gelöst. Könnte jemand einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob meine Berechnung passt?
Aufgabe: Bestimme das Kurvenintegral von \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y, z) \mapsto\left(y^{2},-2 x^{2}, z\right)^{T} \) entlang der Kurve \( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(t, t^{2}, t\right)^{T} \)
Problem/Ansatz:
\( \begin{array}{l}\text { b) } f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y, z) \mapsto \\ \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}y^{2} \\ -2 x^{2} \\ z\end{array}\right) \\ \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{c}t \\ t^{2} \\ t\end{array}\right) \\ \dot{\gamma}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 t \\ 1\end{array}\right) \quad f(\gamma(t))=\left(\begin{array}{c}t^{4} \\ -2 \cdot t^{2} \\ t\end{array}\right) \\ \langle f(\gamma(t)) \mid \dot{\gamma}(t)\rangle=t^{4}-4 t^{3}+t \\ 1 \\ S\left(t^{4}-4 t^{3}+t\right) d t=\left[\frac{t^{5}}{5}-\frac{4 t^{4}}{4}+\frac{t^{2}}{2}\right] \\ 0 \\ \left(\frac{1}{5}-\frac{4}{4}+\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{20}-\frac{20}{20}+\frac{10}{20}\end{array} \)
\( =-\frac{6}{20}=-\frac{3}{10} \)
