Aufgabe:
Sei F+ := {(an) Folge in ℝ : an > 0 für alle n ∈ ℕ}. Zeigen Sie für (an), (bn) e F+ die folgenden Aussagen:
1.) \(a_n ∈ o(b_n) ⇔ \frac{a_n}{b_n} \) ist eine Nullfolge.
2.) \(a_n ∈ Ο(b_n) ⇔ \frac{a_n}{b_n} \) ist beschränkt.
3.) Ist \(0 < \lim\limits_{n→∞} \frac{a_n}{b_n} < ∞\), so ist \(a_n ∈ Θ(b_n)\).
Definition:
für Θ\(\Theta(b_n):=\mathcal{O}(b_n)\cap \Omega(b_n)\)
für O $$O(b_{n}):={(a_{n}) ∈ F_{+} :(\frac{a_{n}}{b_{n}}) _{n ∈ ℕ} beschränkt}$$
für o $$o(b_{n}):={(a_{n}) e F_{+} :\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{a_{n}}{b_{n}}) =0}$$
Problem/Ansatz:
kann mir jemand vielleicht helfen die Aufgaben zu lösen?
Vielen Dank im voraus.
Mfg
