Sitze an einer Klausuraufgabe und bin mir bei meiner Lösung nicht ganz sicher:
Aufgabe:
a) Bestimmen Sie für die Funktion \( f_{a}(x)=\frac{a}{e^{2 x}+a} \) in Abhängigkeit des reellen Parameters a den maximalen Definitionsbereich \( D\left(f_{a}\right) \) und berechnen Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f_{a}(x) \).
b) Zeigen Sie dass \( f_{a} \) für \( a>0 \) streng monoton ist, nicht aber für \( a \leq 0 \). Für welche \( a \in R \) ist \( f_{a} \) injektiv? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion \( f_{a}^{-1} \) inklusive ihres Definitionsbereiches \( D\left(f_{a}^{-1}\right) \).
Mein Lösungsweg:
Fall 1: \( a>0 \) \( f_{a}(x)=\frac{a}{e^{2 x}+a} \) max. Definitionsbereich \( D f_{a}=R \)
Fall 2: \( a=0 \) für \( a=0 \) ist der max. Definitionsbereich \( D f_{a} \) ebenfalls \( R \), da \( f_{a}(x) \) in diesem Fall eine konstante Funktion ist.
Fall 3: \( a<0 \)
\( f_{d}(x)=\frac{a}{e^{2 x}+a} \)
jetzt muss beachtet werden wann der Nenner 0 wird. Der wird 0 wenn \( e^{2 x}+a=0 \Rightarrow e^{2 x}=-a \Rightarrow x=\frac{l}{2} m|a| \) wird.
Also ist der Definitionsbereich \( D f_{a}=R \backslash\left\{\frac{l}{2} \ln |a|\right\} \)
so \( \operatorname{man} z u b \) )
die Ableitung von \( f_{a}=f^{\prime}(x)=\frac{-2 a e^{2 x}}{\left(e^{2 x}+a\right)^{2}} \) für \( a>0 \) ist die immer negativ
\( \Rightarrow \) streng monoton fallend nun zum schwierigeren Teil:
\( f_{d}(x) \) hat für \( a<0 \) eine polstelle \( \lim \limits_{x \rightarrow \frac{l}{2} \ln a \mid+} \frac{a}{e^{2 x}+a} \) der Nenner ist immer etwas größr wie \( a \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \frac{l}{2} b|a|+} \frac{a}{e^{2 x}+a}=-\infty \)
In den Bereichen vor und nach der Polstelle ist die Funktion streng monoton wachsend. Doch nimmt man 2 Werte über der Polstellen also \( u<\frac{1}{2} \ln |a| \) und \( v>\frac{1}{2} \ln |a| \) so ist \( f_{\mathrm{u}}(u)>f_{d}(v) \Rightarrow \) das die Funktion nicht streng monoton wachsend sein kann. Fiir \( a=0 \) ist die Funktion eine Konstante und die ist zugleich streng monoton wachsend wie fallend.
Also ist \( f_{a} \) für jedes \( a>0 \) injektiv. Jetzt fehlt noch die Umkehrfunktion:
\( y=\frac{a}{e^{2 x}+a} \Leftrightarrow y\left(e^{2 x}+a\right)=a \Leftrightarrow e^{2 x}+a=\frac{a}{y} \Leftrightarrow x=\frac{l}{2} \ln \left(\frac{a}{y}-a\right) \Rightarrow f_{a}^{-1}=\frac{l}{2} \ln \left(\frac{a}{x}-a\right) \)
und \( D f_{a}^{-1}=(-\infty, 0) \bigcup(1, \infty) . \)
Ich bin mir nicht sicher ob die Argumentation lückenlos ist, ob ich nicht iwas vergessen hab oder sich iwo ein Fehler eingeschlichen hat.
