Erst einmal zwei Beispiele, um das Problem zu verdeutlichen.
(a+b)^p ≡ a^p + b^p mod p.
(2+5)^3=343 → Rest 1 bei Div. durch 3
2^3+5^3=133 --> Rest 1 bei Div. durch 3
Aber, falls p keine Primzahl ist:
(1+3)^4=256 → Rest 0 bei Div. durch 4
1^4+3^4=82 --> Rest 2 bei Div. durch 4
p sei eine beliebige Primzahl.
\((a+b)^p=a^p + b^p +\sum_{i=1}^{p-1}\binom p i a^i b^{p-i}\)
Es muss gezeigt werden, dass die Summe durch p teilbar ist.
\(\binom p i =\frac{p!}{i!(p-i)!}\)
Da p eine Primzahl ist, sind alle kleineren natürlichen Zahlen außer 1 keine Teiler von p.
i nimmt höchstens den Wert p-1 an, ebenso p-i für i=1.
Daher kann keiner der Binomialkoeffizienten mit p gekürzt werden. Die Summe ist famit durch p teilbar.
:-)