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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die Fläche liegt vollständig oberhalb der \(x\)-Achse:
~plot~ 1/(1-x)*(x>=-2)* (x<=0) ; 1/(1+x)*(x>0)*(x<=2) ; {0|1/ln(27)} ; [[-3|3|-0,2|1,2]] ~plot~
Bei festgehaltenem \(x\) laufen die \(y\)-Werte also von \(0\) bis \(f(x)\). Das führt zu folgender Berechnungsformel für den Schwerpunkt \(S(x_s;y_s)\):$$\binom{x_s}{y_s}=\frac{1}{A}\left(\;\;\int\limits_{x=-2}^0\int\limits_{y=0}^{f(x)}\binom{x}{y}dx\,dy+\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{f(x)}\binom{x}{y}dx\,dy\right)$$
Wir bestimmen zuerst die Gesamtfläche \(A\) der Punktmenge:$$A=\int\limits_{-2}^0\frac{1}{1-x}dx+\int\limits_{0}^2\frac{1}{1+x}dx=\left[-\ln|1-x|\right]_{-2}^0+\left[\ln|1+x|\right]_0^2$$$$\phantom{A}=-\ln|1|+\ln|3|+\ln|3|-\ln|1|=2\ln(3)=\ln(9)$$
Aus Symmetriegründen erwarten wir den Schwerpunkt auf der \(y\)-Achse, d.h. \(x_s=0\). Wir prüfen das aber noch kurz rechnerisch nach, indem wir zuerst die \(x_s\)-Koordinate bestimmen:
$$x_s=\frac{1}{A}\left(\;\;\int\limits_{x=-2}^0\int\limits_{y=0}^{f(x)}x\,dx\,dy+\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{f(x)}x\,dx\,dy\right)=\frac{1}{\ln(9)}\left(\;\int\limits_{-2}^0x\,f(x)\,dx+\int\limits_{0}^2x\,f(x)\,dx\right)$$$$\phantom{x_s}=\frac{1}{\ln(9)}\left(\;\int\limits_{-2}^0\frac{x}{1-x}\,dx+\int\limits_{0}^2\frac{x}{1+x}\,dx\right)=\frac{1}{\ln(9)}\left(\;\int\limits_{2}^0\frac{(-x)}{1-(-x)}\,d(-x)+\int\limits_{0}^2\frac{x}{1+x}\,dx\right)$$$$\phantom{x_s}=\frac{1}{\ln(9)}\left(\;\int\limits_{2}^0\frac{x}{1+x}\,dx+\int\limits_{0}^2\frac{x}{1+x}\,dx\right)=\frac{1}{\ln(9)}\left(-\int\limits_{0}^2\frac{x}{1+x}\,dx+\int\limits_{0}^2\frac{x}{1+x}\,dx\right)=0$$
Nun kommt der interessante Teil, die Berechnung der \(y\)-Koordinate des Schwerpunktes:
$$y_s=\frac{1}{A}\left(\;\;\int\limits_{x=-2}^0\int\limits_{y=0}^{f(x)}y\,dx\,dy+\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{f(x)}y\,dx\,dy\right)=\frac{1}{\ln(9)}\left(\;\;\int\limits_{x=-2}^0\left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{f(x)}\!\!\!\!dx+\int\limits_{x=0}^2\left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{f(x)}\!\!\!\!dx\right)$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{\ln(9)}\left(\frac{1}{2}\int\limits_{x=-2}^0[\,f(x)\,]^2dx+\frac{1}{2}\int\limits_{x=0}^2[\,f(x)\,]^2dx\right)$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{2\ln(9)}\left(\;\;\int\limits_{x=-2}^0\left(\frac{1}{1-x}\right)^2dx+\int\limits_{x=0}^2\left(\frac{1}{1+x}\right)^2dx\right)$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{2\ln(9)}\left(\left[\frac{1}{1-x}\right]_{-2}^0+\left[\frac{-1}{1+x}\right]_{0}^2\right)=\frac{1}{2\ln(9)}\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+1\right)=\frac{2}{3\ln(9)}$$$$\phantom{y_s}=\frac{2}{3\ln(3^2)}=\frac{2}{3\cdot2\ln(3)}=\frac{1}{3\ln(3)}$$
Der Schwerpunkt liegt also bei \(S\left(0\,\big|\,\frac{1}{3\ln(3)}\right)\).
