Kurvendiskussion Wendestellen bestimmen

Question

Aufgabe:

In einer Übungsaufgabe wird folgende Funktion diskutiert.

f(x)=-0,5*x^4*e^{-x}+37

Das relevante Intervall ist I=0;10

Problem/Ansatz:

In einer Unteraufgabe wird gefordert zu bestimmen, wo die Funktion am stärksten ansteigt, bzw. Wo sie am stärksten abfällt. In der Musterlösung werden die möglichen Wendestellen bestimmt mit Hilfe der 2. Ableitung. Dann wird jeweils die dritte Ableitung an den beiden Stellen bestimmt und argumentiert, wenn man ja weiß das es sich um eine RL-Drehung handelt, dann ist klar dass dort die geringste Steigung vorliegen muss. Ist das schlüssig?

Comments

Im Inneren des Definitionsbereichs von zweimal differenzierbaren Funktionen finde ich das schon "schlüssig". Wie man dies auch "anschaulich plausibel" machen kann, weiß ich nicht. Falls der Definitionsbereich auch den einen oder anderen Rand enthält, muss dieser gesondert betrachtet werden.

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Danke für die Antwort.

Answer 1

Hier mal ein Beispiel zur Veranschaulichung:

Der Graph der ganzrationalen Funktion \(y=x^3+c\cdot x\) weist an seiner einzigen Wendestelle \(x=0\) einen Rechts-Links-Krümmungswechsel auf und besitzt die Wendetangente \(y=c\cdot x\) mit der Steigung \(c\). Betrachten wir nun die Steigungen der Funktion, also \(y'=3\cdot x^2+c\) und vergleichen sie für \(x\ne 0\) mit einer beliebigen Steigung \(c\) der Wendetangente, dann gilt offenbar immer $$3\cdot x^2+c \gt c.$$ Da eine Funktion aber auch mehrere Wendestellen oder auch keine Wendestelle haben kann, muss die Aussage aus der Frage auf geeignete Umgebungen um die betrachtete Wendestelle und auf mögliche Randstellen relativiert werden. Außerdem muss die Funktion hinreichend oft differenzierbar sein.

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Super, vielen Dank für die Erklärung!

Answer 2

Wenn die dritte Ableitung an einer Nullstelle der zweiten Ableitung positiv ist, dann hat die erste Ableitung an dieser Stelle einen Tiefpunkt. Das heist, die Steigung ist lokal am kleinsten. Also wird sie demnächst größer. Und das ist eine Linkskrümmung.

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Ok cool, danke für die Antwort.