Gleichungssystem mithilfe des Gauß Algorithmus

Question

Aufgabe:

Lineares Gleichungssystem mithilfe des Gauß Algorithmus

x1+x2+x3=100

x4+x5+x6= 200

x1+x4= 80

x2+x5 = 100

x3+ x6= 120

Verstehe leider nicht, wie ich dieses LGH mithilfe von Gauß lösen kann. Wenn es geht, dann bitte mit Rechenweg.

Answer 1

Hallo,

\(\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 100 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 200 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 80 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 100 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 120 \end{matrix}\right)\)

III - I ergibt

\(\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 100 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 200 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -20 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 100 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 120 \end{matrix}\right)\)

2. und 3. Zeile vertauschen

\(\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 100 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 200 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 100 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 120 \end{matrix}\right)\)

II + IV ergibt:

\(\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 100 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 200 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 80 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 120 \end{matrix}\right)\)

Zeile 3 und 4 tauschen:

\(\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 100 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -20 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 80 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 200 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 120 \end{matrix}\right)\)

III + V ergibt

\(\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 100 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -20 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 80 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 200 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 200 \end{matrix}\right)\)

Aus Zeile 4 folgt:

\(x_4=200-x_5-x_6\)

in III eingesetzt:

\(x_3=120-x_6\)

in II eingesetzt:

\(x_2=100-x_5\)

in I eingesetzt:

\(x_1=-120+x_5+x_6\)

Gruß, Silvia

Comments

Habe nur eine kurze Frage. Warum muss man manchmal Zeilen vertauschen und woher weiß man, welche man vertauschen muss ?

Gruß

---

Du willst die Zeilenstufenform (Treppenform) erreichen. Dazu bietet sich manchmal das Vertauschen zweier Zeilen an.