Aloha :)
Definitionsmenge ist \(D\coloneqq\mathbb C\setminus\{1-i\}\).
Wertemenge ist \(W\coloneqq\mathbb C\).
Den Funktionsterm bauen wir etwas handlicher um:$$z=\frac{3z-2+3i}{z-1+i}=\frac{3z-3+3i+1}{z-1+i}=\frac{3(z-1+i)}{z-1+i}+\frac{1}{z-1+i}=3+\frac{1}{z-1+i}$$
1) Injektivität:
Wir prüfen auf Injektivität und nehmen dazu an, es gebe 2 Werte \(a,b\) aus der Definitionsmenge \(D\) mit demselben Bild:$$f(a)=f(b)\implies3+\frac{1}{a-1+i}=3+\frac{1}{b-1+i}\implies\frac{1}{a-1+i}=\frac{1}{b-1+i}\implies$$$$a-1+i=b-1+i\implies a=b$$Es gibt also keine zwei verschiedenen Argumente mit demselben Bild, die Funktion ist injektiv.
2) Surjektivität:
Wir müssen zeigen, dass jedes Element der Wertemenge mindestens einmal erreicht wird. Der Wert \(w=3\) gehört zur Wertemenge. Wir prüfen, ob es ein \(z\) aus der Definitionsmenge gibt, das auf \(w=3\) abbildet:$$3\stackrel?=3+\frac{1}{z-1+i}\implies 0\stackrel?=\frac{1}{z-1+i}\implies 0\stackrel?=1\quad\text{Widerspruch}$$Das Element \(3\) der Wertemenge wird also nie erreicht. Die Funktion ist nicht surjektiv.
3) Bijektivität:
Da die Funktion nicht surjektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.
