wird von diesem Lichtstrahl getroffen?

Question

Ein Lichtstrahl aus Punkt \( A(1|1|-9) \) ist auf den Punkt \( \mathrm{B}(-2|4| 6) \) gerichtet. Welcher Punkt der von den Punkten \( \mathrm{P}_{1}(-1|3| 5) \), \( P_{2}(-8|8| 2), P_{3}(13|-7| 3) \) aufgespannten Ebene
wird von diesem Lichtstrahl getroffen?

Answer 1

Aloha :)

Zur Ermittlung der Ebenengleichung bestimmen wir zuerst einen Normalenvektor:$$\vec n=\left[\left(\begin{array}{r}-8\\8\\2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}-1\\3\\5\end{array}\right)\right]\times\left[\left(\begin{array}{r}13\\-7\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}-1\\3\\5\end{array}\right)\right]$$$$\phantom{\vec n}=\left(\begin{array}{r}-7\\5\\-3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r}14\\-10\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-10-30\\-42-14\\70-70\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-40\\-56\\0\end{array}\right)$$und formulieren damit die Koordinatenform der Ebenengleichung:$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\3\\5\end{array}\right)\implies\left(\begin{array}{r}-40\\-56\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-40\\-56\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\3\\5\end{array}\right)\implies$$$$-40x-56y=40-168\implies-40x-56y=-128\implies$$$$\underline{\underline{E\colon5x+7y=16}}$$

Die Geradengleichung des Lichtstrahls formulieren wir in Parameterform:

$$\vec x=\left(\begin{array}{r}1\\1\\-9\end{array}\right)+\lambda\left[\left(\begin{array}{r}-2\\4\\6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}1\\1\\-9\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{r}1\\1\\-9\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{r}-3\\3\\15\end{array}\right)\implies$$$$\underline{\underline{g\colon\vec x=\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1-3\lambda\\1+3\lambda\\-9+15\lambda\end{array}\right)}}$$

Zur Ermittlung des Schnittpunktes, setzen wir die Koordinaten der Geradengleichung in die Ebenengleichung ein:

$$16=5(1-3\lambda)+7(1+3\lambda)=12+6\lambda\implies 6\lambda=4\implies\lambda=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$Der Treffpunkt ist also \(T(-1|3|1)\).

Comments

@Tschaka: kleiner Rechenfehler

$$\vec x=\left(\begin{array}{r}1\\1\\-9\end{array}\right)+\lambda\left[\left(\begin{array}{r}-2\\4\\6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}1\\1\\-9\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{r}1\\1\\-9\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{r}-3\\3\\{\color{red}15}\end{array}\right)$$

Der gesuchte Treffpunkt ist dann $$T = \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 1\end{pmatrix}$$Beweisfoto:

(klick auf das Bild)

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Danke dir Werner ;)... Habe es korrigiert.

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Aber das ist noch nicht mit allen p's (p1, p2, p3) gemacht, oder?

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Aber das ist noch nicht mit allen p's (p1, p2, p3) gemacht, oder?

doch ... es ist 'mit allen p's' gemacht. Schaue Dir in Tschakabumbas Antwort die erste Zeile an. Dort steht:$$\vec n = (P_2-P_1) \times (P_3-P_1)$$dort wird aus den Differenzenvektoren von jeweils zwei Punkte der Normalenvektor \(\vec n\) berechnet.

Klicke bitte in meinem letzten Kommentar auf das Bild. Dann öffnet sich Geoknecht3D und Du kanst die Szene mit der Maus rotieren. Ich habe dort alle Vektoren eingezeichnet.

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Zur Ermittlung der Ebenengleichung bestimmen wir zuerst einen Normalenvektor

Normalenform heißt das doch, oder?

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Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht.

Normalform ist eine Darstellung der Ebenengleichung in Koordinatenform. Das haben wir oben gerechnet:$$E\colon5x+7y=16$$

Es gibt noch die Hessesche Normalform, bei der der verwendete Normalenvektor noch auf die Länge \(1\) normiert werden muss.

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= ( -10 - 30
  - 42 - 14
   70 - 70)

Wie kommt man darauf ?

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Und wie kommt man auf die 16=...?

Und wie kommt man auf das Ergebnis vom Treffpunkt?

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Das ist das sog. Kreuzprodukt oder Vektorprodukt von 2 Vektoren:

$$\vec n=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}$$

Das Ergebnis \(\vec n\) steht auf den beiden Vektoren \(\vec x\) und \(\vec y\) senkrecht. Deswegen kann man damit einen Normalenvektor ausrechnen.

Answer 2

Das ist der Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Eben

1) Geradengleichung aufstellen g: x=a+r*m →  x=(ax/ay/az)+r*[[bx/by/bz)-(ax/ay/az)]

A(1/1/-9) → Ortsvektor a(1/1/-9)

B(-2/4/6) → Ortsvektor b(-2/4/6)

b-a=(-2/4/6)-(1/1/-9)=(-3/3/15)   → g: x=(1/1/-9)+r*(-3/3/15)

2) Ebenengleichung aufstellen Dreipunktgleichung der Ebene E: x=a+t*(b-a)+s*(c-a)

A(-1/3/5) → Ortsvektor a(-1/3/5)

B(-8/8/2) → Ortsvektor b(-8/8/2)

C(13/-7/3) → Ortsvektor c(13/-7/3)

b-a=(-8/8/2)-(-1/3/5)=(-7/5/-3)

c-a=(13/-7/3)-(-1/3/5)=(14/-10/-2)

E: x=(-1/3/5)+t*(-7/5-3)+s*(14/-10/-2)

gleichgesetzt g:=E:

(1/1/-9)+r*(-3/3/15)=(-1/3/5)+t*(-7/5/-3)+s*(14/-10/-2)

ergibt das lineare Gleichungssystem (LGS)

x-Richtung: 1) -3*r+7*t-14*s=-1-1=-2

y-Richtung: 2) 3*r-5*t+10*s=3-1=2

z-Richtung: 3) 15*r+3*t+2*s=5+9=14

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)

r=2/3 und t=1 und s=1/2

Den Rests schaffst du selber r=2/3 in die Gerade einsetzen g: x=... ergibt den Schnittpunkt mit der Ebenen

Ps(x/y/z)

Dann auf Richtigkeit prüfen t=1 und s=1/2 in die Ebenengleichung einsetzen,ergibt auch den Schnittpunkt

Ps(x/y/z)

Answer 3

[-1, 3, 5] + r·([-8, 8, 2] - [-1, 3, 5]) + s·([13, -7, 3] - [-1, 3, 5]) = [1, 1, -9] + t·([-2, 4, 6] - [1, 1, -9]) --> r = 1 ∧ s = 1/2 ∧ t = 2/3

S = [1, 1, -9] + 2/3·([-2, 4, 6] - [1, 1, -9]) = [-1, 3, 1]