Berechne den Inhalt der abgebildeten Fläche.

Question

Aufgabe:

Berechne den Inhalt der abgebildeten Fläche.

Text erkannt:

a)
b)

Answer 1

a)

∫ (1 bis 3) (1/3·x^2 + 1) dx = 44/9 --> A = 44/9

b)

x^2 - 6·x + 8 = 0 --> x = 2 ∨ x = 4

∫ (2 bis 4) (x^2 - 6·x + 8) dx = -4/3 --> A = 4/3

Answer 2

Aloha :)

a) Hier musst du nur in den Grenzen von \(1\) bis \(3\) integrieren:$$A=\int\limits_1^3\left(\frac{1}{3}x^2+1\right)dx=\left[\frac{x^3}{9}+x\right]_1^3=\left(3+3\right)-\left(\frac{1}{9}+1\right)=6-\frac{10}{9}=\frac{44}{9}$$

b) Hier musst du dir vor der Integration die Nullstellen überlegen, damit du die Integrationsgrenzen kennst:$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\implies\text{Nullstellen bei } x=2\text{ und } x=4$$Da die gesuchte Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, wird das Integral negativ sein. Da wir die Fläche aber gerne als positive Zahl angeben möchten, schreiben wir direkt ein Minuszeichen vor das Integral:

$$B=-\int\limits_2^4\left(x^2-6x+8\right)dx=-\left[\frac{x^3}{3}-3x^2+8x\right]_2^4$$$$\phantom{B}=-\left(\frac{64}{3}-48+32\right)+\left(\frac{8}{3}-12+16\right)=-\frac{56}{3}+16+4=\frac{4}{3}$$