Binomialkoeffizient: Wie Beweisen?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallu! o((>ω< ))o

Kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen? Und zwar habe ich hauptsächlich Probleme mit dem Induktionsschritt, da ich nicht genau weiß wie das hier bei einem Binomialkoeffizienten hier funktioniert. Ich weiß höchstens, dass ich 3 verschiedene Fälle betrachten muss und zwar für: 0 <= k <= n, 0 <= k <= n+1, n = k = 0.
Für denn Fall 1 ≤ k ≤ n habe ich es geschafft, aber ich weiß leider nicht, wie man das für die restlichen Fälle macht, kann mir das vielleicht jemand bitte zeigen? <( ￣^￣)

Ich werde mit euch mal meinen "schrecklichen" Ansatz teilen:

Induktionsanfang:
n = 0
(0 über k) = 0 <--- ist eine natürliche Zahl

Induktionsschritt:
Es gelte für EIN n ∈ N: Für alle k ∈ {0,1, ...., n} ist (n über k) ∈ N

Induktionsbehauptung:
Dann gilt die Beh. für n+1 d.h. für alle k ∈ {0, 1, ... , n + 1 } ∈ N

Induktionsschritt:

Sei k k ∈ {0, 1, ... , n + 1 } 

1. Fall: 1 ≤ k ≤ n
Dann gilt: (n+1) über k = (n über k -1) + (n über k) ∈ N <--- hier werden zwei natürliche Zahlen addiert

2. Fall: 0 ≤ k ≤ n + 1 
???

3. Fall: n = k = 0
????

Answer 1

2. Fall: 0 ≤ k ≤ n + 1

Fall 2 ist k = n+1. Die meisten anderen möglichen Werte für k hast du schon in Fall 1 behandelt.

Was noch fehlt ist k = 0. Das wäre dann Fall 3.

Comments

Oh vielen Dank!

Aber was muss ich beim zweiten Fall genau machen sprich 0 ≤ k ≤ n + 1? Muss ich da überhaupt was zeigen und wenn ja, wie? (ㆆ_ㆆ)

Haben wir dann in dem Fall also (n + 1) über (n + 1) = (n über n + 1) + (n über n) = 0 + 1 = 1 ??? Ist das so richtig?

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Und für denn Fall k = 0:

(n+1) über 0 = (n über 0) + (n über -1) = 1 + 0 = 1.

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Du musst in Fall 2 zeigen, dass \({{n+1}\choose {n+1}} \in \mathbb{N}\) ist.

Wie du das machst, hängt entscheidend von der Definitions des Binomialkoeffizienten ab und welche sonstigen Erkenntnisse du schon über den Binomialkoeffizienten hast.

Übrigens:

(0 über k) = 0

Erstens kommt hier nur \(k = 0\)  in betracht, weil \(n\geq k\) sein soll.

Zweitens widerspricht \({0\choose 0} = 0\) der Behauptung \({n\choose k}\in \mathbb{N}\), weil augenscheinlich \(0\notin \mathbb{N}\) ist. Das ist aber nicht schlimm, weil \({0\choose 0} = 0\) ebenfalls nicht stimmt, tatsächlich ist \({0\choose 0} = 1\).

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Uii, also dann habe ich den zweiten Fall oben richtig gelöst, oder? （︶^︶）

(n + 1) über (n + 1) = (n über n + 1) + (n über n) = 0 + 1 = 1 ∈ N

Und bei Induktionsanfang muss ich es dann so machen:

k = 0

(n 0) = 1 ∈ N

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Ob du den zweiten Fall oben richtig gelöst hast, hängt entscheidend von der Definitions des Binomialkoeffizienten ab und welche sonstigen Erkenntnisse du schon über den Binomialkoeffizienten hast. Beides kenne ich, kann also die Korrektheit nicht beurteilen.

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Nun jetzt kommt der Witz:

Eine genaue Definition über den Binomialkoeffizienten wurde vom Professor nicht wirklich gezeigt...Sonstige Erkenntnisse habe ich grundsätzlich kaum, musste sehr viel nachschauen, damit ich sowas überhaupt lösen konnte....

Aber Du kannst es gerne nach Deinen Erkenntnisse beurteilen... ヽ(゜▽゜ )－

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Ich habe noch eine kleine Frage:

Kann das sein, dass der 2. Fall (k = n + 1) und der 3. Fall (k = 0) gar nicht gelten? Und wenn ja, warum eigentlich? (╯▔皿▔)╯