wie hängt das Steigungsverhalten einer Exponentialfunktion von der Basis ab?

Question

Aufgabe:

wie hängt das Steigungsverhalten einer Exponentialfunktion von der Basis ab? Vergleiche die Graphen.

f1=1,5^x

f2=2^x

f3=3^x

Problem/Ansatz:

zur ersten Frage würde ich sagen: im positiven Bereich (1,2,3,4...)  steigt es immer, indem man die Zahl mit 2 multipliziert. Ergibt das sinn? Irgendwie zweifle ich da gerade dran.

Zum zweiten frage: in welchen Aspekten sollte man die Graphen vergleichen?

Answer 1

Aloha :)

Aus den Zeichnung kann man ein paar Merkmale ablesen:

$$f_1(x)=1,5^x\text{  (blau)}\quad;\quad f_2(x)=2^x\text{  (rot)}\quad;\quad f_3(x)=3^x\text{  (grün)}$$

~plot~ 1,5^x ; 2^x ; 3^x ; [[-3|5|0|6]] ~plot~

1) Alle Exponentialfunktionen haben den Punt \((0|1)\) gemeinsam.

2) Für \(x>0\) gilt \(3^x>2^x>1,5^x\).

3) Für \(x<0\) gilt \(3^x<2^x<1,5^x\).

4) Für \(x>0\) steigt die Potenzfunktion umso schneller, je höher ihre Basis ist.

Bei \(x<0\) ist das Steigungsverhalten etwas schwieriger zu sehen bzw. zu berechnen. Die Steigungen der Funktionen sind:$$f_1'(x)=\ln(1,5)\cdot1,5^x\quad;\quad f_2'(x)=\ln(2)\cdot2^x\quad;\quad f_3'(x)=\ln(3)\cdot3^x$$

Für \(x<-1,86389\) ist \(f_1'(x)>f_2'(x)\), wächst also \(f_1(x)\) schneller als \(f_2(x)\).

Für \(x<-1,13588\) ist \(f_2'(x)>f_3'(x)\), wächst also \(f_2(x)\) schneller als \(f_3(x)\).

Das kannst du so aber mit bloßem Auge nicht erkennen. Daher würde ich mich nur auf den Punkt 4) für \(x>0\) beschränken.