Zeigen Sie, dass es unter diesen zwei Punkte gibt, die Abstand ≤ √2 haben.

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N und seien n^2 + 1 beliebige Punkte in dem Quadrat
{(x, y) | 0 ≤ x < n, 0 ≤ y < n}

gegeben. Zeigen Sie, dass es unter diesen zwei Punkte gibt, die Abstand ≤ √2 haben.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie Man das zeigen soll.
Ich wäre Dankbar wenn mir jemand bei dieser Aufgabe hilft.

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Vom Duplikat:

Titel: Abstand zweier Punkte im Quadrat

Stichworte: abstand,schubfachprinzip

Aufgabe:

Sei \(n \in \mathbb N\) und seien \(n^2 + 1\) beliebige Punkte in dem Quadrat der Kantenlänge \(n\)
\(\{(x, y) |\space 0 \le x \lt n, \space 0 \le y \lt n\}\)
gegeben. Zeigen Sie, dass es unter diesen zwei Punkte gibt, die Abstand \(\le \sqrt 2\) haben.


Problem/Ansatz:
Ich habe keine Ahnung wie Man das zeigen soll.
Ich wäre Dankbar wenn mir jemand bei dieser Aufgabe hilft.

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Die Aufgabenstellung ist unklar. Der Teil "seien n2 + 1 beliebige Punkte in dem Quadrat" ist grammatisch nicht korrekt und "n2 + 1" ist kein mathematisch korrekter Term. Bitte überprüfe auch mal, ob der Abstand wirklich kleiner oder gleich \(\sqrt{2}\) sein soll.

Answer 1

Hallo,

Das macht man mit dem sogenannten Schubfachprinzip.

Teile das Quadrat in ein Gitternetz von \(n \times n\) gleich großen Quadraten mit der Seitenlänge \(1\) auf. Das wären \(n^2\) Fächer mit denen das gesamte Quadrat abgedeckt ist. Setze nun jeweils genau einen Punkt in jedes der Fächer (Einheitsquadrate).

Und den letzten der \(n^2+1\) Punkte muss man nun zwangsläufig in ein Fach setzen, wo schon ein Punkt drin ist. Und zwei Punkte innerhalb eines Quadrats mit der Kantenlänge \(1\) haben zwangsläufig einen Abstand von \(\le \sqrt 2\). Denn das ist die Länge der Diagonalen.

Bem.: ich bin sicher, dass bereits bei weniger als \(n^2+1\) Punkten mindestens ein Paar existiert, welches zu nah bei einander ist. Aber das zu beweisen wird schwieriger.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die hilfreiche Antwort.

Answer 2

Das Quadrat hat die Ecken (0,0) , (n,0) , (n,n) , (0,n).

Du kannst es in n^2 Einheitsquadrate zerlegen.

Da du n^2 + 1 Punkte hast, gibt es mindestens ein

Einheitsquadrat, das mehr als einen Punkt enthält.

(Schubfachprinzip)

Es gibt also 2 Punkte, die im gleichen Einheitsquadrat

liegen. Die längsten Strecken im Einheitsquadrat

sind die Diagonalen, und die haben die Länge √2.

Also sind die beiden Punkte höchstens √2 voneinander

entfernt.