Untersuchen Sie, ob es Punkte auf der Strecke AS gibt, die zu C den Abstand 4,5 haben.

Question

ich wüsste nicht, wie man jetzt pauschal darauf kommt. Wäre nett wenn mir jemand das erklären könnte.

Die Punkte sind

A(2/0/1); B(4/2/1); C(2/4/1); S(2/2/6)

Ansatt:

Ich habe jetzt erstmal den Vektor AS bestimmt (0/2/5), wie man weitermacht hätte ich kein Vorschlag. Vielleicht mit einsetzen einer Variablen.

LG und Danke

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung der Geraden durch die Punkte $A$ und $S$ lautet:$$g:\;\vec x=\vec a+t\cdot\left(\vec s-\vec a\right)=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}$$Der Abstand $d$ eines Punktes $\vec x$ der Geraden vom Punkt $C(2|4|1)$ beträgt:$$d=\left\|\vec x-\vec c\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}0\\-4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}0\\2t-4\\5t\end{pmatrix}\right\|$$Dieser Abstand $d$ soll gleich $4,5=\frac{9}{2}$ sein. Das Quadrat $d^2$ soll also gleich $\frac{81}{4}$ sein:$$\frac{81}{4}=d^2=(2t-4)^2+(5t)^2=4t^2-16t+16+25t^2=29t^2-16t+\frac{64}{4}$$$$29t^2-16t-\frac{17}{4}=0$$Mit der abc-Formel ergeben sich 2 mögliche Lösungen:$$t_{1,2}=\frac{8}{29}\pm\frac{\sqrt{749}}{58}\quad;\quad t_1\approx-0,1960\quad;\quad t_2\approx0,7477$$Der Wert $t_1<0$ scheidet aus, weil der Punkt außerhalb der Strecke $\overline{AC}$ liegt. Mit $0\le t_2\approx0,7477\le1$ gibt es jedoch tatsächlich einen Punkt auf der Strecke, der den Abstand $4,5$ vom Punkt $C$ hat.

Comments

Vielen lieben Dank!

---

Wie würde ich dann den Punkt genau berechne, müsste ich t2 dann einfach in den Richtungsvektor der Geraden AS einsetzen ?

---

Ja genau, einfach $t_2\approx0,7477$ in die oberste Geradengleichung einsetzen. Ich kriege $(2|1,4954|4,7385)$ heraus.