Aloha :)
Die Gleichung der Geraden durch die Punkte \(A\) und \(S\) lautet:$$g:\;\vec x=\vec a+t\cdot\left(\vec s-\vec a\right)=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}$$Der Abstand \(d\) eines Punktes \(\vec x\) der Geraden vom Punkt \(C(2|4|1)\) beträgt:$$d=\left\|\vec x-\vec c\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}0\\-4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}0\\2t-4\\5t\end{pmatrix}\right\|$$Dieser Abstand \(d\) soll gleich \(4,5=\frac{9}{2}\) sein. Das Quadrat \(d^2\) soll also gleich \(\frac{81}{4}\) sein:$$\frac{81}{4}=d^2=(2t-4)^2+(5t)^2=4t^2-16t+16+25t^2=29t^2-16t+\frac{64}{4}$$$$29t^2-16t-\frac{17}{4}=0$$Mit der abc-Formel ergeben sich 2 mögliche Lösungen:$$t_{1,2}=\frac{8}{29}\pm\frac{\sqrt{749}}{58}\quad;\quad t_1\approx-0,1960\quad;\quad t_2\approx0,7477$$Der Wert \(t_1<0\) scheidet aus, weil der Punkt außerhalb der Strecke \(\overline{AC}\) liegt. Mit \(0\le t_2\approx0,7477\le1\) gibt es jedoch tatsächlich einen Punkt auf der Strecke, der den Abstand \(4,5\) vom Punkt \(C\) hat.
