Hallo Olivia,
Mir fallen drei Verfahren ein, wie man diese Ausgabe lösen kann. In jedem Fall sollte man die Gleichung auf die Normalform bringen. Also die Form, bei der vor dem \(x^2\) kein Faktor \(\ne 1\) steht.$$\begin{aligned} 2x^{2}-3x+c&=0 &&|\, \div 2 \\ x^2 - \frac 32x - \frac c2 &= 0\end{aligned}$$Nach dem Satz von Vieta ist die Summe der beiden Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) gleich dem Negativen des Faktors vor dem \(x\). Also hier$$x_1 + x_2 = -\left( -\frac 32 \right) = \frac 32$$Addiert man zu dieser Gleichung die Vorgabe$$x_1-x_2 = 5$$resultiert sofort$$2x_1 = \frac 32 + 5 = \frac{13}2 \\ \implies x_1 = \frac{13}4$$und setzt man \(x_1\) in eine der Gleichungen ein, so erhält man$$x_1 + x_2 = \frac 32 \\ \implies x_2 = \frac32 - x_1 = \frac32 - \frac{13}4 = -\frac74$$Wenn nach dem Wert von \(c\) nicht gefragt ist, dann hast Du damit schon die Lösung.
Ansonsten hilft auch hier der Satz von Vieta:$$x_1\cdot x_2 = \frac c2 \implies c = 2 \cdot \frac{13}4 \cdot \left( -\frac 74\right)= -\frac{91}{8}$$
Die zweite Möglichkeit besteht darin, die quadratische Gleichung in die Scheitelpunktform zu bringen:$$\begin{aligned}x^2 - \frac 32x - \frac c2 &= 0 \\ x^2 - \frac 32x + \left(\frac34\right)^2 - \left(\frac 34\right)^2 - \frac c2 &= 0 \\ \left( x - \frac 34 \right)^2 - \dots &= 0\end{aligned}$$Somit liegt der Scheitel bei \(x_s=3/4\). Die weitere Rechnung ist nicht notwendig. Und da die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) symmetrisch zum Scheitel liegen müssen und unter einander den Abstand \(5\) haben, ist$$x_1 = \frac 34 + \frac 52= \frac{13}4\\ x_2 = \frac 34 - \frac 52 = -\frac 74$$
Die dritte Möglichkeit zur Lösung findest Du in den anderen Antworten.
