Bei welchen Geschwindigkeiten sind die Verbräuche minimal?

Question

Aufgabe: Der Benzinverbrauch zweier Automodelle wird durch die Funktionen a(v)=0,0005v^2-0,04v+5 bzw. b(v)=0,0003v^2-0,03v+5,5 erfasst. v ist die Geschwindigkeit in km/h, a(v) und b(v) stellen den Benzinverbrauch dar in Litern/100km.

b)  Bei welchen Geschwindigkeiten sind die Verbräuche minimal?

c)  Bei welcher Geschwindigkeit verbrauchen beide Autos gleich viel?

d)  Bei welcher Geschwindigkeit überschreiten der Verbrauch von Auto a 10Liter/100km?

e)  Wie stark steigt der Verbrauch von Auto a, wenn es 120km/h fährt statt 100km/h?

Problem/Ansatz: Ich komme nicht weiter vor allem bei der Aufgabe e), wäre dankbar für jede Hilfe.

Comments

e.)
a ( 100 ) = 6 Liter / 100 km
a ( 120 ) = 7.4 Liter / 100 km

7.4 / 6 = 1.23333
23.33 %

Bei Bedarf nachfragen.

Answer 1

b) Berechne a'(v)= 0 und b'(v)=0

c) a(v)=b(v)

d) a(v) >10

e) a(120)/a(100) = Zunahmefaktor ZF

ZF-1 = Zunahme in %

Comments

Hallo, wie kann ich bei e) das in prozent ausrechnen?

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Das habe ich dir doch geschrieben.

Rechne die Zahlenwerte aus und bilde den Quotienten.

Vom Ergebnis ziehe 1 ab.

Wenn z.B. 1,15 rauskommt, ergibt das 1,15-1=0,15 = 15/100 = 15%

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Ich kenne mich mit Fachbegriffen nicht aus, ich weiß nicht wie ich sowas berechnen muss

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1.a(120) = ..

2.a(100) = ...

1./2.minus 1 = ...

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Verbrauch bei 100 km/h ist der Funktionswert für a(100). Du setzt also für v 100 in die Gleichung ein und erhältst

\(a(100)=0,0003\cdot 100^2-0,03\cdot 100+5,5=5,5\)

Bei 100 km/h verbraucht der Wagen also 5,5 l pro 100 km

Das Gleiche machst du für v = 120 und erhältst als Ergebnis, dass der Wagen bei 120 km/h 6,22 l pro 100 km verbraucht.

Du kennst sicherlich aus der Prozentrechnung die Formel

\(p\%=\frac{W}{G}\)

W = Prozentwert ist die Differenz zwischen 6,22 und 5,5

G = Grundwert = 5,5

\(p\%=\frac{0,72}{5,5}=0,1309 \)

Also steigt der Verbrauch um 13,1%.

Mit dem Ansatz von Gast2016 kommst du auf das gleiche Ergebnis:

\( \frac{6,22}{5,5}-1=0,1309\)

Du musst dir hier nur nicht die Arbeit machen, die Differenz zwischen beiden Werten auszurechnen.

Answer 2

Das ist eine einfache Kurvendiskussion → Nullstellen,Extrema,Schnittstellen berechnen

a)

av=0,0005*v²-0,04*v+5 ableiten

av´=0=0,001*v-0,04  Nullstelle v=0,04/0,001=40 km/h

nun prüfen,ob Maximum oder Minimum

av´´=0,001>0 → Minimum

minimaler Spritverbrauch bei v=40 km/h

bv=0,0003*v²-0,03*v+5,5

bv´=0=0,0006*v-0,03 Nullstelle v=0,03/0,0006=50 km/h

nun prüfen,ob Maximum oder Minimum

vb´´=0,0006>0 → Minimum

c) beide Funktionen gleichsetzen

bv=av → 0=av-bv

e) den Differenzenquotienten berechne → aus 2 Punkten P1(x1/y1) und P2(x2/y2)
m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1
x1=v1=100 km/h → av(100)=....   =y1x2=v2=120 km/h → av(120)=... =y2ergibt die durchschnittliche Steigerung des Spritverbrauchs zwischen v1=100 km/h und v2=120 km/h
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Text erkannt:

\( \underline{\text { Kurvendiskussion }} \)
0
Hinweis:Der "Sattelpunkt" (Terrassenpunkt oder STufenpunkt) nin hoennderer Wendebunkt.bei dem die Tangentensteis ein
NULL
Die Tangente liegt somit "parallel" zur x-Achse. \( f^{\prime}(x)=m=0 \)
Der "Wendepunkt" treant 2 Kurvenbögen, "konkav" und "konvex" \( \underline{K} \) riimang "k" aus dem Mathe-Formelbuch, Xapite1, "Differeatialgeometrie!. Forme1 \( k=y^{\prime \prime} /\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{(3 / 2)} \)
\( k<0 \) konvex (Rechtskrimmung) von oben o \( k>0 \) konkav (Linkskruimmung) von oben gesa
Parabel \( f(x)=a 2 * x^{2}+a 1 * x+a 0 \)
\( f^{\prime}(x)=2 * a 2 * x+a 1 \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=2 * \mathrm{a} 2 \quad \) hat somit "keinen Wendepunkt"
kubische Funktion \( f(x)=a 3^{*} x^{3}+a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a \)
\( f^{\prime}(x)=3 * a 3^{*} x^{2}+2^{*} a 2^{*} x+a 1 \)
\( \mathrm{f}^{\prime}{ }^{\prime}(x)=6^{*} \mathrm{a} 3^{*} \mathrm{x}+2 \) an \( 2 \quad \) hat "imer einen Wendepunkt"
\( f^{\prime \prime}(x)=6^{*} a^{3} \)
Diese Funktion ergibt sich aus der "ganzrationalen Funktion 4.Gra des" \( y=f(x)=a 4^{*} x^{4}+a 3^{*} x^{3}+a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a 0 \)
\( y=f(x)=a 4 * x^{4}+a 2^{*} x^{2}+a 0 \) ist die "biquadratische Funktion" Substitution (ersetzen) \( \mathrm{z}=\mathrm{x}^{2} \) fuhrt zur Form einer "Parabel" \( \frac{f(z)=a 4 * z^{2}+a 2^{*} z+a o}{=} \) Nullstelleneraittlung uber die \( p-q- \) Formel Die biquadratische Funktion 1iegt "achssymetrisch" zur y-Achse. Bedingung "Achssymmetrie" \( f(x)=f(-x) \) und Exponenten n=gerade "Punktsymmetrie" \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=-1^{4} \mathrm{f}(-\mathrm{x}) \quad \) n=ungel