Zeigen Sie, dass die Gleichung gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung

Text erkannt:

\( (a+b)^{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0\end{array}\right) a^{3}+\left(\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right) a^{2} b+\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) a b^{2}+\left(\begin{array}{l}3 \\ 3\end{array}\right) b^{3} \quad(*) \)

gilt.

Problem/Ansatz:

Wie genau muss ich da ran gehen?

Es wäre lieb wenn mir das jemand einmal vormachen könnte damit ich so einen groben Lösungsweg habe und damit auch die restlichen aufgaben lösen kann.

Vielen Dank schon einmal im Voraus!

Answer 1

(a+b)³=(a+b)²·(a+b)=(a²+2ab+b²)·(a+b)=a³+3a²b+3ab²+b³

Außerdem: \( \begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} \)=1, \( \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} \)=3, \( \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix} \)=3, \( \begin{pmatrix} 3\\3 \end{pmatrix} \)=1.

Answer 2

Aloha :)

Beim Ausmultiplizieren des Binoms bekommst du drei Faktoren:$$(a+b)^3=(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)$$Aus jeder der \(3\) Klammern musst du beim Ausmultiplizieren entweder ein \(a\) oder ein \(b\) auswählen.

Es gibt genau \(\binom{3}{0}\) Möglichkeiten, drei \(a\) und null \(b\) auszwählen. \(\implies\quad\binom{3}{0}a^3\).

Es gibt genau \(\binom{3}{1}\) Möglichkeiten, zwei \(a\) und ein \(b\) auszwählen. \(\implies\quad\binom{3}{1}a^2b\).

Es gibt genau \(\binom{3}{2}\) Möglichkeiten, ein \(a\) und zwei \(b\) auszwählen. \(\implies\quad\binom{3}{2}ab^2\).

Es gibt genau \(\binom{3}{3}\) Möglichkeiten, null \(a\) und drei \(b\) auszwählen. \(\implies\quad\binom{3}{3}b^3\).

Das macht in Summe:$$(a+b)^3=\binom{3}{0}a^3+\binom{3}{1}a^2b+\binom{3}{2}ab^2+\binom{3}{3}b^3$$