Wie löst man diese Ungleichung mittels Logarithmus nach k auf? So/30 <So/(1-1.08^{-30}*0.08*1.08^{k-31})

Question

Finanzmatheaufgabe:

\( \frac{S o}{30}<\frac{S o}{1-1,08^{-30}} * 0.08 * 1,08^{k-31} \)

und das dann als Lösung:

\( k>31+\frac{\log \left(\frac{1-1,08^{-30}}{2,4}\right)}{\ln (1,08)}=18,2644961 \)

Ich weiß nicht, wie 2,4 entstehen oder warum sich das <> Zeichen ändert.

Wäre dankbar für eine Schritt für Schritt Lösung.

Answer 1

So/30 <So/(1-1.08^{-30}) *0.08*1.08^{k-31})         |:So   (Annahme So>0)     
1 /30 < 1/(1-1.08^{-30}) *0.08*1.08^{k-31})          |*(1-1.08^{-30})
(1-1.08^{-30}) / 30 < 0.08*1.08^{k-31})           |:0.08
(1-1.08^{-30}) / (30*0.08) < 1.08^{k-31})         |ln

ln((1-1.08^{-30}) / (30*0.08)) < ln(1.08^{k-31})
ln((1-1.08^{-30}) / (30*0.08)) < (k-31) ln(1.08)        |:ln(1.08)
ln((1-1.08^{-30}) / (30*0.08)) / ln(1.08) < k-31       |+31

ln((1-1.08^{-30}) / (30*0.08)) / ln(1.08) + 31 < k

ln((1-1.08^{-30}) / (2.4)) / ln(1.08) + 31 < k