Wie löst man diese Ungleichung? [2(k+1)]! > (k + 2)^k * (k+2)!

Question

Hallo Community;

Kann mir bitte einer von euch diese Ungleichung lösen oder einen Beweis nennen, warum die linke Seite größer ist als die Rechte.

k ≥ 2 und k ∈ ℕ

[2(k+1)]! > (k + 2)^k * (k+2)!

Schon mal :D

Answer 1

die Ungleichungen gilt auch für k=1.

Grundgedanke: Das Produkt von k+3 bis 2k+2 hat k Faktoren die alle größer sind als k+2.

Gruß

Comments

Hallo Danke für deine Antwort, aber wie bist du auf „k +3“ usw. gekommen? Ich kann dir nicht ganz folgen. LG

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Bei solchen Aufgaben geht es im grunde nur darum sich vor Augen zu führen, was diese Ausrufezeichen da zu suchen haben.

$$ [2(k+1)]! = (2k+2)(2k+1)2k \cdots (k+3)(k+2)! $$

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Die Ausrufezeichen stehen für die Fakultät, doch jetzt bin ich noch verwirrter als vorher.

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Hmm was meinst du wohl welche Faktoren übrig bleiben, wenn du [2(k+1)]! durch (k+2)! teilst? Wenn du Probleme mit meiner Notation hast schreib dir doch selber mal auf aus welchen Faktoren deine Fakultäten bestehen. Es sollten sich ein paar Gemeinsamkeiten ergeben ;).

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Mit Fakultät meinte ich nur das:
1! = 1
2! = 2
3! = 6

oder auch so ausgedrückt:
n! = 1 * 2 ... n

Ich versteh nur deine Umformungen nicht. Zu Info: ich bin noch im 1. Semester, wenn das Umformung sind, die man erst später lernt, dann kann es sein ich sie deshalb nicht versteh. ;)

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Fakultäten behandelt man in der Regel in der ersten Vorlesungswoche meistens auch schon im Vorkurs und in der Oberstufe. Ohne Verständnis was die Fakultäten in deiner Ungleichung beinhalten sehe ich auch ein warum der Beweis dir Probleme macht.

Zum Beispiel ist:

$$(k+2)! = 1 \cdot 2 \cdots k \cdot ( k+1) \cdot (k+2)$$

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Jetzt versteh ich so halbwegs was du gemeint hast.

Naja in der Schule habe wir zwar die Fakultät angesprochen aber dafür die Ungleichung komplett ausgelassen. :|

Aber Danke für deine Hilfe ;)

Das dürfte jetzt eh schon das 3. Mal gewesen sein