Zeigen sie für alle Zahlen n element N die Ungleichung: n^{2}<2^{n}+1

Question

n^{2}<2^{n}+1

Das muss ja bestimmt mit induktion machen

Zu zeigen sollte sein [2^{n+1}+1]

N=1

Induktionsanfang

L.s 1 R.s 3 stimmt

Induktionsannahme

A(n)=> n+1

Summe(i=1,n)= n^{2}<2^{n}+1

Summe(i=1,n+1)= (n+1)^{2}<2^{n+1}+1

(n+1)^2<2×2^{n}+1

Weiter weiss ich leider nicht.

Danke

Comments

Ich könnte noch die linke seite

n^2+2n+1<2×2^{n}+1 machen.

Aber dann weiiss ich leider nicht weiter.

Ich habe noch gemacht ohnr zuwissen ob richtig oder nicht.

Minus 1 und dann umegformt

(n(n+2))/2<2^{n}

Reicht das aus?

Bitte um hilfe;)

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Weiter als das komme ich nicht

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Was möchtest Du denn mit der Summe anstellen?

Wozu wird die überhaupt eingeführt?

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Ich habe das gemacht ob es richtig ist weiss ich selbst nicht.

Soll es e8n direkter beweis sein?

Wenn ja wuerde ich immer noch das selbe ohne summenzeichen machen.

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Hör mal in deiner Behauptung kommt doch überhaupt keine Summe vor....warum dann in deinem Induktionsschritt?

Vor allem macht die Summe gar keinen Sinn.

Die vollständige Induktion liefert nicht bei jeder Aufgabe dieselben Rechnungen

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Ok das ist dann ein fehler meinerseits.

Aber ich weiss nicht weiter.

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Das Prinzip verfolgt immer dieselbe Vorgehensweise in der Anwendung, wenn du das Prinzip noch nicht hundert pro verstanden hast, dann such dir lieber nochmal einfache Beispiel (kleine Gauß zum Beispiel)

Schau mal hier

http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion

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Ich hab leider es nicht hinbekommen.

Ich zeige mal was ich gemacht habe.

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Ist das so ok?

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Das am rnde sollte k sein

Gauss

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Nein, das ist falsch, warum addierst du auch auf der einen Seite n+1 dazu? Deine Rechnungen zeigen mir nur, dass du nicht verstehst wie die vollst. Induktion funktioniert...schau dir bitte den Link an.

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Ich habe mir ja den link angeschaut

Und kam auf das ergebnis leider.

Da stand doch n=k+1

Und das man um eins dazu addieren soll oder nicht?

Wie bei gauss linke seite

1+2..+k  +(k+1) deswegen warum ich n+1 gemacht habe

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Nein, du versuchst hier ein Beispiel anzuwenden, das rein gar nichts mit der Aufgabe zu tun hat. Bei Gauss arbeitest du mit einer Summe, bei deiner Aufgabe arbeitest du mit einer Ungleichung....

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Ich weiis leider nicht weiter.

Was sollte ich als nächstes versuchen.

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Du solltest dich mit der vollständigen Induktion beschäftigen bis du das Prinzip verstanden hast und ein paar einfache Aufgaben selber rechnen kannst....du brauchst noch nicht mal Literatur dazu, im Internet gibt es zahllose Erklärversuche.

Answer 1

n²<2ⁿ+1

Das muss ja bestimmt mit induktion machen

Zu zeigen sollte sein [2ⁿ⁺¹+1]

(Induktionsanfang). Verankerung n=1

L.s 1 R.s 3 stimmt

n=2: 4 < 5 ok.

n=3: 9 < 9      STIMMT gar NICHT.

Induktionsschritt: n --> n+1

Ind. vor:

n²<2ⁿ+1

Ind. behauptung

(n+1)²< 2ⁿ⁺¹+1

Beweis

Linke Seite (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1       | Ind.vor.

< 2^n +1 + 2n + 1    | 1+2n < 2^n       

<  2^n + 2^n + 1 = 2*2^n + 1 = 2^{n+1} + 1

Beachte: Meine rote Abschätzung gilt erst ab n =3. D.h. ich muss die Verankerung noch ausweiten. Ausserdem müsste ich die rote Abschätzung noch beweisen.

Hierbei zeigte sich oben, dass die Behauptung für n=3 gar nicht gilt.

Die Ungleichung ist somit nicht allgemeingültig.

Comments

Danke ich kann bisher alles verstehen (wie im bild).danach wird es schwierig für mich. Warum addierst du auf der rechten seite 2n+1?

Bild kommt gleich

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Wie im bild?

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 Warum addierst du auf der rechten seite 2n+1?

Ich arbeite nur mit der linken Seite und komme erst am Schluss zu einer Abschätzung mit der rechten Seite, weil ich das ja zeigen wollte.

Nur: Inzwischen habe ich festgestellt, dass die Ungleichung für n=3 nicht gilt. Also ist die Behauptung einfach falsch und man muss gar nichts mehr weiter tun.

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Einmal verstehe ich nicht warum du n^2 blau markiert hast und 2n+1.

< 2^{n} +1 + 2n + 1    | 1+2n < 2n

<  2^n  + 2^n  + 1 = 2*2n + 1 = 2^{n+1} + 1

Das 8st doch jetzt die rechte seite oder?

Den part verstehe ich nicht.

| 1+2n < 2^{n}

Auch das hier nicht.

Warum ich auch frage da ich ja n=3 probe srlbst nicht draufkam.

Dann muesste ich doch spätestens am ende sehen das was faul ist.

Danke für deine hilfe

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Blau ist die Induktionsvoraussetzung, die ich anwenden darf in der Abschätzung.

Dann muesste ich doch spätestens am ende sehen das was faul ist.

Ja. Das musst du sehen, wenn du  | 1+2n < 2ⁿ noch beweisen musst. 

Das war einfach eine Ungleichung, die ich auf dem Weg zur rechten Seite noch brauchte.

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Es gibt nun einmal Beziehungen, für die ist die Beweismethode  "vollständige Induktion"  einfach nicht gegeignet. Diese hier  (n² ≤ 2ⁿ+1)  gehört dazu. Hier muss man nämlich irgendwann im Induktionsschritt eine Ungleichungen zeigen, die am einfachsten mit Mitteln der Analysis zu beweisen ist, und dann hätte man diese Mittel auch gleich auf die ursprüngliche Ungleichung anwenden können.

Es kann auch passieren, dass die Methode vollkommen versagt.
Als Beispiel betrachte man die (zugegebenermaßen triviale) Ungleichung  n < n + 1/n .
Ein Beweisversuch à la Lu würde jetzt folgendermaßen ablaufen :
1. Induktionsanfang  n = 1  :    1 < 2  ist ok.
2. Induktionsschritt   n → n+1  :    Aus der Induktionsvoraussetzung  n < n + 1/n  ist zu folgern, dass dann auch  n+1 < n+1 + 1/(n+1)  gilt.  Beginnen wir mit der linken Seite  n + 1  und setzen die IndVor. ein, so erhalten wir zunächst  n+1 < (n + 1/n) + 1  = (n+1) + 1/n , können dann aber nicht weiter zu  ... < (n+1) + 1/(n+1)  schließen, weil 1/n  <  1/(n+1)  einfach schlicht falsch ist.

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Lu echt sry hab grad gesehen da steht grösser gleich also stimmt auch n=3

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Ok. Dann zeige noch mit Methoden der Analysis oder mit Induktion, dass 1+2n < 2ⁿ      , ab n=3 gilt. 

Der Rest steht ja oben und bleibt gültig. 

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Den teil mache ich gleich nach danach

Ich verstehe den letzten schritt nicht.

Und zwar (ich schicke bild mit dem part wo ich alles selbst machen kann) du hast in der letzten zeile 2^{n}+1+2n+1

Danach plötzlich 2^n +2^n +1 geschrieben und wohin zu wohin adiert man hier 2n+1??

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Den letzten schritt noch bitte

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Woher weiss ich 2n+1<2^n ist?

Wenn das klar ist weiss ich den rest^^

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Ich hoffe, dass derjenige, der dir die analytische Methode von Anfang an vorgeschlagen hat, dir das mal zeigt.

Du kannst zeigen, dass zumindest ab x=3, y=2x +1 nie stärker steigt als y=2^x.

Da 2*3+1=7 < 2^3= 8 ist, kann die lineare Funktion y = 3x+2 deshalb y = 2^x nicht mehr schneiden.

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Funktionieren diese umforumungen nur bei ungleichungen?

Und

Ich bin im urlaubsrmester wegen meinem ruecken

Ich lerne gerade alles alleine ohne vorlesung.

Deswegen mache ich manchmal schwer^^

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Du hattest mir gesaht ich soll 2^n>=2n+1 nachweisen ich scheitere aber an einem punkz.

Kannst du da bitt weiter helfen.

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Yes endlich verstanden auch hinbekommen.

Answer 2

Zu zeigen: Für alle \(n>3\) gilt \(2^n>n^2-1\).
Die Aussage gilt offenbar für \(n=4\).
Die Aussage gelte für ein \(n>3\). Dann gilt$$2^{n+1}=2\cdot2^n>2\cdot(n^2-1)=n^2+(n-1)^2+2n-3.$$Da offensichtlich \((n-1)^2>3\) für alle \(n>2\) gilt, folgt$$2^{n+1}>n^2+2n=(n+1)^2-1.$$