Zahlen finden mit vielen Teiler

Question

Aufgabe:

Geben Sie 5 verschiedene positive Zahlen an, die genau so viele positive Teiler wie die Zahl c haben. - Begründen ¨
Sie, ob diese 5 Zahlen Quadratzahlen sind.

Ansatz:

Die Zahl c ist 15681600 und hat 315 positive Teiler.

Answer 1

Bei deiner letzten Frage sollte bewiesen werden, dass Zahlen mit einer ungeraden Anzahl von Teilern Quadratzahlen sind.

315 ist ungerade.

Zu den gesuchten Zahlen:

Kennst du den Zusammenhang zwischen der Primfaktorzerlegung und der Anzahl der Teiler?

315=5*7*9

Alle Faktoren um 1 verringern:

4, 6, 8

2^4*3^6*5^8=(2^2*3^3*5^4)^2=4556250000

:-)

Comments

Ja, die Anzahl aller Teiler kann man durch die Primfaktorzerlegung der Zahl bestimmen. Aber ich komme trotzdem irgendwie auf keine Lösung....

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

Answer 2

"Primzahl hoch 314" hat die 315 Teiler 1, p, p^2, ..., p^314.

Da 315=21*15 ist, kannst du auch eine Zahl der Form \(p_1^{20}\cdot p_2^{14}\) nehmen.

Es gibt noch Möglichkeiten mit 3 oder mit 4 verschiedenen Primfaktoren.

Comments

Das verstehe ich nicht ganz, gesucht sind ja Zahlen die man entweder als Natürliche Zahl schreiben kann oder als Quadratzahl.

Answer 3

Ersetze in der Primfaktorzerlegung

        \( 15681600 = \prod\limits_{i=1}^{n}p_i^{e_i}\)

eines der \(p_i\) durch eine nicht in der Primfaktorzerlegung vorkommende Primzahl.

Answer 4

Wenn p, q und r Primzahlen sind, dann hat p⁸·q⁶·r⁴ genau 315 verschiedene Teiler und ist Quadratzahl.