Finden Sie die maximale natürliche Zahl n, sodass 2^n ein Teiler von 100! ist

Question

Welche Formel muss ich anwenden, um das Ergebnis zu erhalten?

Ich habe auch bereits eine andere Frage gefunden, welche meiner ähnelt, aber fand dazu keinen Lösungsweg bzw. keine Formel zur Berechnung, sondern nur das Ergebnis.

Ich bin für jegliche Hilfe dankbar.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie findet man das (vereinfacht bitte erklären)?

Stichworte: teiler,weg

Finden Sie die maximale natürliche n, so dass 2^n ein Teiler von 100! ist.

Answer 1

eine Formel dafür wäre:

$$n = \sum_{k=1}^{\infty}  \left \lfloor \frac{100}{2^k} \right \rfloor$$ da hier alle

$$\left \lfloor \frac{100}{2^k} \right \rfloor = 0 \quad \text{für } k>6 $$ bleibt $$n = \left \lfloor \frac{100}{2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{100}{4} \right \rfloor + \dots + \left \lfloor \frac{100}{64} \right \rfloor = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$$

Comments

Hinweis: Die Formel darf ohne Beweis nicht zur Lösung der Aufgabe verwendet werden.

Das sind so die ueblichen Spielregeln. :)

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Die Formel folgt logisch aus der Aufgabenstellung ;-)

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Ich hab nichts an der Formel auszusetzen. Die Bemerkung war mehr so für den Fragesteller. Bevor er sich zu frueh freut.

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Das Interessante dieser (Summanden-)Folge 1,3,6,12,...

ist, dass sie umgedreht und mit Pi bis ins UNENDLICHE fortgesetzt werden kann:

http://www.lamprechts.de/gerd/Kreiszahl.htm#ZF

Dort statt mit 100 als letzten Wert die 12867.

Man kann das auch mit 124451306656115542615260972311 oder beliebig anderen Endwerten vergleichen ...

Natürlich kommen wegen der Irrationalität keine glatten Endwerte von 10^n mehr vor.

Answer 2

Wenn Dir nichts Besseres einfaellt: Schreib die geraden Faktoren in 100!, also 2, 4, 6, 8, 10, ... einfach alle auf auf und notiere darunter, wie oft der Faktor 2 drin steckt. Es faengt an mit 1, 2, 1, 3, 1, ... Dann aufaddieren zum gesuchten n. Das ist in zehn Minuten gemacht. Da Dir sowieso nichts anderes einfallen wird, kannst Du gleich damit anfangen.

Answer 3

Hier ohne große Herleitung 3 unterschiedliche Algorithmen:

§1 von Werner-Salomon

f1(x)=sum floor(x/2^k),k=1...floor(ln(x)/ln(2))

f1(100)=97

größeres Beispiel

f1(143482587720256841293275162491978472764192344513)
sum floor(x/2^k),k=1...floor(ln(143482587720256841293275162491978472764192344513)/ln(2))=156
sum floor(143482587720256841293275162491978472764192344513/2^k),k=1...156
=143482587720256841293275162491978472764192344450 in unter 1s

§2 aus https://oeis.org/A068425 da  floor(Pi*2^5)=100 ist hier Faktor=Pi
f2(x)= sum floor(Faktor*2^k),k=-1...floor(ln(x)/ln(2)-2)
mit floor(Faktor*2^k)=x mit k=floor(ln(x)/ln(2)-1) 

f2(143482587720256841293275162491978472764192344513)
sum floor(Pi*2^k),k=-1...154
=143482587720256841293275162491978472764192344450 in unter 1s

§3: hammingweight siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Hamming_weight

f3(100)=100-hammingweight(100)=100-3=97
f3(143482587720256841293275162491978472764192344513)
=143482587720256841293275162491978472764192344513-hammingweight(143482587720256841293275162491978472764192344513)
=143482587720256841293275162491978472764192344450 in ms per Pari

Answer 4

Jeder gerade Faktor aus 100! hat den Primfaktor 2. Also ist n=50.

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Wie kann man das denn ausführlich beweisen?

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Wenn man das formal beweisen will, muss man entweder mit ... arbeiten oder mit dem Produktzeichen Π. n!=1·2·3·4·...·97·98·99·100=

1·3·5·...·97·99·2·4·6·...·98·100=

1·3·5·...·97·99·1·3·5·7·...·49·50·2⁵⁰.

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n=50 ist aber nicht das gesuchte maximale n, denn n=51 teilt 100! auch.

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@gast az0815: Du hast natürlich recht. Ich habe nicht berücksichtigt, dass es viele Faktoren in 100! gibt, die mehr als eine 2 enthalten. Die richtige Lösung ist n=97.

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Zusatzaufgabe ohne Rechnung, aber mit Begründung: Stelle fest, auf welche Ziffer der gekürzte Term 100!/2^97 endet!

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Das muss 5 sein, denn außer 2 hat nur diese eine eine Wirkung auf die Endziffer. Und jede Potenz von 5 endet auf 5.

Answer 5

Hallo

 überleg wie du es mit 10 machtest1*2*3*4*5*6*7*8*9*10

5 gerade Zahlen, davon 2 durch 4=2² tb,  1 durch 8=2³ also n=5+2+1=8  10! ist durch 2⁸ teilbar.

genauso geh bei 100 vor  wobei 64=2⁶ einmal vorkommt, 32??, 16?? 8?? 4?? und gerade sind es 50.

Gruß lul

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Ich verstehe nicht, was du meinst, wie ist denn 10 durch 2^8 teilbar? Kannst du mir anhand der Aufgabe die Rechnung vollziehen und vielleicht erklären, warum du dies und jenes gemacht hast, ich bin wirklich in dem Punkt am zweifeln :/

Answer 6

100 forgesetzt halbieren; dabei nngerade Ergebnisse um 1 vermindern:

50 gerade Zahlen

25 durch 4 teilbare Zahlen

12 durch 8 teilbare Zahlen

6 durch 16 teilbare Zahlen

3 durch 32 teilbare Zahlen

1 durch 64 teilbare Zahl

97 Faktoren 2. 2⁹⁷ ist Teiler von 100!

Comments

97 Faktoren 2? :(

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Ach, damit ist doch gemeint, dass 97 Faktoren durch 2 teilbar sind, also, dass von 100 Zahlen 97 durch 2 teilbar sind?

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Hallo

 nein manche sind durch 2², manche durch 2³ usw eine durch 2⁶ teilbar, das steht da doch! es sind nicht 97 Zahlen durch 2 Teilbar, sondern 50 ein mal, 25 2mal 12 3 mal usw.

das habe ich mit 10! vorgemacht, weil ich dachte da sieht man es noch besser ein .

es sind wirklich 97Faktoren 2 in 100! enthalten

Gruß lul

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Ok, verstehe langsam den kommentierten Inhalt, und wie formuliere ich das alles mathematisch, also wie gebe ich das in einer Rechnung wieder?

MfG

Reptex

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Hallo

 das steht doch im post von Roland?

Gruß lul