Question

Bestimme die kleinste natürliche Zahl n, die genau 22 positive Teiler hat. Das Ergebnis ist natürlich zu begründen!

Ich weiß, dass ich mithilfe der PFZ alle Teiler einer Zahl finde, und das die Teilermenge =22 mit

22= (k₁ +1) +(K₂+1)+...+ (k_s+1)  bestimmt werden kann.

Wer kann mir helfen, wie ich wirklich die kleinste natürliche Zahl n finde?

Comments

Statt + muss es oben * heißen!

(Ich komme dann auf etwas mehr als 3000.)

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Stimmt, danke! Da habe ich mich vertan...

Ich bin nun auf die Lösung mit 3072 als kleinste Zahl, die 22 Teiler hat gekommen, denn ich kann 22 = (10+1) *(1+1) darstellen und habe so 2¹⁰* 3 = 3072. Allerdings weiß ich nicht, wie man begründen kann, dass dies die kleinste Zahl mit 22 Teilern ist...

Answer 1

wie schon angemerkt muss es

22= (k₁ +1) *(K₂+1)*...* (k_s+1)

heißen.

und wenn 22 das Produkt von einigen Zahlen ist, können es

(da die Klammern sinnigerweise nicht 1 sein sollen) nur

2*11 bzw.  11*2 sein. Und das mit möglichst kleinen

Primzahlen, also 2 und 3.

Dann wäre die Zahl n = 2^11 * 3^2 = 18432

und wenn du eine reine 2er Potenz nimmst

  n=2^21 = 2,09 Millionen .

Also ist die 18432 die kleinste Möglichkeit.

Comments

@mathef: Die Potenzen sind nicht richtig, beachte den Kommentar vom Gast. Dein \(n\) besitzt 36 Teiler.

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Oh ja, ich hatte im Exponeneten jeweils einen zuviel, alos

ist 2^10 * 3 = 3072 richtig !

Answer 2

Mein Computer meint:

Bei genau 23 Teilern ist es schon 4194304.