Mengengleichheit beweisen: A= {n | T(n) = {1, n}} und B = {n | T(n) hat genau 2 Elemente}

Question

T(n) = {m ∈ N | m ist Teiler von n} , z.B T(1)={1}, T(2)={1,2}, T(3)={1,3}...

Beweisen oder widerlegen A = B

A= {n | T(n) = {1, n}}

B = {n | T(n) hat genau 2 Elemente}

Comments

Es gilt A = B.

Das ist die Menge der Primzahlen. 

Beweisen kannst du das über die Definition der Primzahlen.

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 m, n ∈ N. Die Zahl k ist ein Teiler von m genau dann wenn ∃x ∈ N :  n = x · k

Für jedes n ∈ N sei

T(n) = {m ∈ N | m ist Teiler von n}

Answer 1

A= {n | T(n) = {1, n}}

B = {n | T(n) hat genau 2 Elemente} 

1. A ⊆ B 

Sei no ∈ A. Dann gilt T(no) = {1, no}. Das sind genau 2 Elemente. Daher no ∈ B.  qed (1.)

2. B ⊆ A 

Sei no ∈ B. Dann gilt T(no) hat genau 2 Elemente. Jede natürliche Zahl no ist durch 1 und durch no teilbar. Das sind schon 2 Teiler, wenn no ≠ 1. Also T(no) ⊇ {1, no} . Nun hat aber T(no) genau 2 Elemente. Daher T(no) = {1, no}.  ==> no ∈ A. qed. (2.) 

Comments

Sei no ∈ A. Dann gilt T(no) = {1, no}. Das sind genau 2 Elemente.

oder auch nicht

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Man muss allerdings noch fordern, dass die Elemente der Mengen größer als 1 sind. Sonst ist nämlich \(1\in A\), aber \(1\not\in B\).

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Ich gehe davon aus, dass T(1) = {1} nicht als T(1) = {1,1} notiert werden darf. In einer Menge wird in der Regel jedes Element nur einmal notiert.

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Natürlich darf das so geschrieben werden. Es ist \(\{1\}=\{1,1\}=\{1,1,1\}=...\)

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Nick: ist aber schon in der Fragestellung nicht so geschrieben, wie du das willst.

http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Mengenlehre:_Menge#Aufz.C3.A4hlende_Mengenschreibweise

sagt, dass man die Elemente einer allgemeinen Menge so oft notieren darf, wie man will. Daher wäre es schlauer gewesen, wenn der Fragesteller explizit: A= {n | T(n) = {1, n} mit 1≠n} gefordert hätte.

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Was "will" ich denn hier? Ich habe nur eine mathematische Tatsache aufgeschrieben. Und was ist da nicht so geschrieben?

Wir können jedenfalls feststellen: Wenn \(A:= \{n\in\mathbb{N}\ |\ T(n)=\{1,n\}\}\) und \(B:= \{n\in\mathbb{N}\ |\ T(n) \text{ hat genau zwei Elemente}\}\), dann ist \(A\neq B\).

Definiert man hingegen \(A:= \{n\in\mathbb{N}\ |\ n\geq 2, T(n)=\{1,n\}\}\) und \(B:= \{n\in\mathbb{N}\ |\ n\geq 2, T(n) \text{ hat genau zwei Elemente}\}=\{n\in\mathbb{N}\ |\ T(n) \text{ hat genau zwei Elemente}\}\)

dann ist \(A=B\).