Bestimme, nach wie vielen Wochen der See komplett zugewachsen ist.

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Wahlaufgabe 3
Ein Baggersee hat eine Größe von \( 950 \mathrm{~m}^{2} \) und soll zum Baden genutzt werden. Die Wasserqualität wird regelmäßig untersucht, dabei wird eine Algenart genauer beobachtet.
Zu Beginn der Beobachtung ist der Baggersee mit einem \( 50 \mathrm{~m}^{2} \) großen Algenteppich bedeckt. Man hat festgestellt, dass sich der Algenteppich jede Woche um \( 50 \% \) vermehrt.
a) Vervollständige die Tabelle.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Zeit x (in Wochen) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline Fläche y (in m \( ^{2} \) ) & 50 & 89,58 & 129,16 & 168,75 & 208,32 & 2474 \\
\hline
\end{tabular} \( 168,75-50=118,75: 3 \approx 39,58 \)
b) Zeichne den Graphen in ein Koordinatensystem. (Wähle bei der \( x \) -Achse \( 1 \mathrm{~cm} \) für 1 Woche und bei der \( y \) -Achse \( 1 \mathrm{~cm} \) für \( 100 \mathrm{~m}^{2} \).)
c) Bestimme, nach wie vielen Wochen der See komplett zugewachsen ist.
d) Stelle das Algenwachstum als Funktionsgleichung dar.
e) Berechne die Größe des Algenteppichs 2 Tage nach Beobachtungsbeginn.

Kann mir jemand bei der Aufgabe d) und e) helfen und habe ich Aufgabe a) ?

Answer 1

Man hat festgestellt, dass sich der Algenteppich jede Woche um \( 50 \% \) vermehrt.

Das ist exponentielles Wachstum

\( 168,75-50=118,75: 3 \approx 39,58 \)

Das ist lineares Wachstum.

d) Stelle das Algenwachstum als Funktionsgleichung dar.

Zwei Punkte aus der Tabelle in die Funktionsgleichung

        \(f(x) = a\cdot q^x\)

für exponentielles Wachstum einsetzen.

Das Gleichungssystem aus den zwei entstandenen Gleichungen lösen um \(a\) und \(q\) zu bestimmen. Die Werte für \(a\) und \(q\) in

  \(f(x) = a\cdot q^x\)

einsetzen.

c) Bestimme, nach wie vielen Wochen der See komplett zugewachsen ist.

Löse die Gleichung

        \(f(x) = 950\)

e) Berechne die Größe des Algenteppichs 2 Tage nach Beobachtungsbeginn.

Berechne \(f(2)\) oder lies den Wert aus der korrekt ausgefüllten Tabelle ab.

Answer 2

x	0	1	2	3	4	5
y	50	75	112.5	168.75

Du musst von dem y-Wert die Hälfte nehmen und dann addieren.

50/2=25, 50+25=75

75/2=37.5, 75+37.5=112.5

usw.

Oder:

150%=1.50

50*1.5=75

75*1.5=50*1.5^2=112.5

112.5*1.5=50*1.5^3=168.75

usw.

Allgemein: y=50*1.5^x

:-)

Answer 3

Das ist exponentielles Wachstum

A(t)=Ao*a^(t)

A(1)=Ao+Ao/100%*50%=Ao*(1+50%/100%)

a=1+p/100%=1+0,5=1,5

Ao=Anfangswert zum Zietpunkt t=0 → A(0)=Ao*a⁰=Ao*1=Ao

Funktionsgleichung A(t)=50 m²*1,5^(t)

t=Zeit in Wochen

a) Tabelle ausfüllen

A(1)=50 m²*1,5^1=75 m²  nach t=eine Woche

A(2)=50 m²*1,5²=112,5 m²

A(3)=50 m²*1,5³=168,75 m²

A(4)=50 m²*1,5^4=253,125 m²

A(5)=50 m²*1,5^5=379,6875 m²

c)

A(t)=950 m²=50 m²*1,5^(t)

950/50=19=1,5^(t)  logarithmiert

ln(19)=ln(1,5^(t))=t*ln(1,5) Logarithmengesetz log(a^(x))=x*log(a)

t=ln(19)/ln(1,5)=7,26 Wochen

Hinweis:Du kannst hier auch den Logarithmus mit der Basis 10 nehmen

t=log(19)/log(1,5)=7,26..Wochen

A(t)=50 m²*1,5^(t)

e)  hier soll die Zeiteinheit t in Tage seind) A(t)=50 m²*1,5^(t)

1 Woche=7 Tage

A(t)=50 m²*1,5^[1/(7 Tage)*t]

A(2)=50 m²*1,5^(1/7Tg*2 Tg)=56,14..m²

Achte auf die Einheitenkontrolle im Exponenten 1,5^[1/Tage*2 Tage) → 2/7*Tage/Tage=2/7

Man rechnet mit Einheiten,wie mit Zahlen.

Mit der Einheitenkontorlle kann man eine Gleichung auf Richtigkeit Prüfen.

1,5^(n)  der Exponent n ist dimensionslos

A(t)=50 m²*1,5^(1/1 Woche*t)  hier Zeiteinheit t in Wochen

A(t)=50 m²*1,5^(1/7 Tage*t) hier Zeiteinheit t in Tage

Infos;vergrößern und/oder herunterladen

Text erkannt:

Siehe Mathe-Forme1buch,was man privat in jedem Buchladen bekommt. Formel: \( y=f(x)=a^{x} \) mit a \( E P \) und \( a>0 \) und a unGleich 1 x 5 p \( \quad f(x+1)=f(x) *_{a} \)
Mit \( e^{x *} \ln (a)=a^{x} \) kann \( y=f(x)=a^{x} \) durch \( S_{t r e c k u n g / S} \) tauchung mit \( \ln (a \)
aus der e-Funktion gewonnen werden. Durchläuft in \( f(x)=c^{*} a^{x}(c \neq 0 \) und \( a>0 \) und \( a \neq 1) \) das Argument \( x \) eine "arithmetische Folge", so durchlauft der Funktionswert \( f(x) \) afno n eine "geometrische Folge" Die "Exponentialfunktion" kommt in folgender Form vor:
1) \( N(t)=N_{0} \cdot a^{t} \quad \) No=Anfangswertrzum Zeit punkt \( t=0 \quad N(0)=N_{0} \neq_{a}^{0}=N_{0} * 1 \)
2) \( N(t)=N_{0} * e^{-b * t} \) Formel fúr den radioaktiven Zerfall No=zerfallsfahige Atonkerne zum Zeitpunkt \( \mathrm{t}=0 \) (Anfangswert) b= Zerfallskonstante, abhAngig vom Materia. T=Halbwertszeit, hier sind von No die Hälfte aller zerfallsfähigen Atomkerne zerfallen. \( N(T)=\mathrm{No} / 2 \)
daraus errechnet sich die "Zerfallskonstante" b \( \mathrm{N}(\mathrm{T})=\mathrm{No} / 2=\mathrm{No}^{*} \)
\( 1 / 2=\mathrm{e}^{-\mathrm{b}^{*} \mathrm{~T}} \) logarithmiert ergibt \( \ln (0,5)=-\mathrm{b}^{*} \mathrm{~T} \) ergibt \( \mathrm{b}=\ln (0,5) /-\mathrm{T} \)
nach 1 Jahr \( \mathrm{K}(1)=\mathrm{K}_{0}+\mathrm{K}_{0} / 100 \% * \mathrm{p}=\mathrm{K}_{0} *(1+\mathrm{p} / 100 \%) \)
\( a=(1+p / 100 \%) \) ergibt die Forme1
\( \underline{K(t)=K_{0} *(1+p / 100 \%)^{t}} \)
Beispiel: "exponetielle A bnahme" Anfangskapital \( \mathrm{Ko} \) nach 1 Jahr \( K(1)=K_{0}-K_{0} / 100 \% * p=K_{0} *(1-p / 100 \%) \)
\( a=(1-p / 100 z) \)
\( K(t)=K o *(1-p / 100 q)^{t} \)

 ~plot~50*1,5^x;50;950;[[-2|12|-2|1100]];x=7,26~plot~