Nach wie vielen Tagen ist der See mit Algen bedeckt?

Question

Aufgabe: Nach wie vielen Tagen ist der See ganz mit Algen bedeckt?

Problem/Ansatz:

Ein TAUSENDSTEL eines Sees ist mit Algen bedeckt. Die Algenfläche VERZEHNFACHT sich jeweils innerhalb von 20 TAGEN. Nach wie vielen Tagen ist der See GANZ mit Algen bedeckt?

Bitte mit Lösungsweg, da meine Lehrerin es mir sehr schnell erklärt hat und ich somit den Weg nicht ganz verstanden habe... Dankeee

Answer 1

1/1000·10^(x/20) = 1 --> x = 60

Answer 2

Die Algenfläche VERZEHNFACHT sich jeweils innerhalb von 20 TAGEN.

Das ist exponentielles Wachstum. Also

(1)        F(t) = a·q^t.

mit

        a: Anfangsbestand

        q: Wachstumsfaktor

        t: Zeit

        F(t): Bestand zum Zeitpunkt t

Ein TAUSENDSTEL eines Sees ist mit Algen bedeckt.

Dann ist a = 1/1000. Einsetzen in (1) liefert

(2)        F(t) = 1/1000 · q^t.

VERZEHNFACHT sich jeweils innerhalb von 20 TAGEN

Dann ist

(3)        F(20) = 10 · 1/1000 = 1/100.

Laut (2) ist aber auch

(4)        F(20) = 1/1000 · q²⁰.

Gleichsetzen von (3) und (4) liefert

(5)        1/100 = 1/1000 · q²⁰.

Lösung der Gleichung (5) ist

(6)        q = ²⁰√10.

Einsetzen in (2) liefert

(7)        F(t) = 1/1000 · (²⁰√10)^t.

Nach wie vielen Tagen ist der See GANZ mit Algen bedeckt?

Dann ist

(8)        F(t) = 1.

einsetzen in (7) liefert

(9)        1 = 1/1000 · (²⁰√10)^t.

Lösung dieser Gleichung ist t = 60.