Ich stehe vor folgendem Aufgabenproblem. Leider weiß ich nicht wie ich diese lösen kann. Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
Für alle z ∈ ℂ sind die absolut konvergenten Reihen:
sin(z) := \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}} \)\( \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \) und cos(z):= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}} \)\( \frac{z^{2n}}{(2n)!} \) gegeben.
Es sollen die folgenden Identitäten für alle w, z ∈ ℂ bewiesen werden.
1) (sin(z))\( ^{2} \) + (cos(z))\( ^{2} \) = 1
2) sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w) und cos(z + w) = cos(z) cos(w) − sin(z) sin(w)
3) sin(z) = \( \frac{1}{2i} \) (exp(iz) − exp(−iz)) und cos(z) = \( \frac{1}{2} \)(exp(iz) + exp(−iz))
