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bei uns an der Uni wurde in einer Aufgabe über Reihen der Sinus (x) als kleiner gleich x abgeschätzt.

Bei Zahlenfolgen wurde der Cosinus immer kleiner gleich 1 abgeschätzt. Das kann ich nachvollziehen. Wieso wird der Sinus anders abgeschätzt? Hat es was damit zu tun das eine Aufgabe eine Folge, die andere eine Reihe war? Oder liegt es am Sinus und Cosinus? Eigentlich sind doch beide durch 1 beschränkt?


Vielen Dank im Voraus,

Tim

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Eigentlich sind doch beide durch 1 beschränkt?

Die Formulierung ist nicht korrekt.

Beide sind durch 1 nach oben und durch -1 nach unten beschränkt.

Wieso wird der Sinus anders abgeschätzt?

Da müsste man wohl den konkreten Fall sehen.

Hier sind die beiden Fälle

der Sinus , der ist das an in einer Reihe von 1 bis unendlich. ( Wo der stern ist wird abgeschätzt. )

$$ \begin{array} { l } { = \left| \left( \sin \left( n ^ { 6 } \cdot \pi - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) \right) ^ { 4 } \right| } \\ { = \left( \sin \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) \right) ^ { 4 } } \\ { \stackrel { ( * ) } { <=  1/(\sqrt { n } } ) ^ { 4 } } \end{array} $$


und der cosinus, auch so in einer Reihe.

$$ \begin{array} { l } { = \left| \frac { \cos ( n \pi ) } { 4 ^ { n } } \right| } \\ { = \left| \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 4 ^ { n } } \right| } \\ { = \frac { 1 } { 4 ^ { n } } = b _ { n } } \end{array} $$

@wolfgang

"Die Formulierung ist nicht korrekt."


Da kennst du aber eine wesentliche Definition der Beschränktheit nicht.

Eine Zahl S heißt Schranke einer Zahlenfolge (a_n), wenn für alle a_n gilt

\(|a_n|\le S \).

Wenn also eine Zahlenfolge nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen kann, gilt tatsächlich für jedes Folgenglied, dass sein Betrag \(\le 1 \) ist, somit ist 1 eine Schranke.

Danke für den Hinweis.

Wenn ich das mal gelesen habe, hat mein Sprachgefühl das wohl verdrängt.

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Hallo Tim,

oben  wird angewendet, dass für x∈ℝ0+   sin(x) ≤ x  gilt.

unten wird angewendet, dass  cos(n·π) = (-1)n  (für gerade n = 1 , für ungerade n = -1)  gilt

  Letzteres ist also keine Abschätzung.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Oh okay, wann würde man cosinus und sinus denn dann als <= 1 abschätzen dürfen bzw. wo tut man das allgemein?

Z.B. hat die Folge  an = 1/n · sin(n)   wegen |sin(n)| ≤ 1  und 1/n → 0  den Grenzwert 0.

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