Lineare Algebra, Matrizen. A:=((1,0)(-1,1)). Suche alle X so dass AX=XA

Question

Bestimmen Sie alle (2,2)-Matrizen X=(x_ij)_2,2 deren Matrizenprodukt mit der Matrix 

A = $$ \begin{ bmatrix } 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{ bmatrix } $$

Also: A =

( 10
  -11 )

sich kommutativ verhält (A mal X = X mal A) 

Comments

Bitte bei  LaTeX -Eingaben immer Umwandlung kontrollieren. Z.B. mit https://www.matheretter.de/rechner/latex anpassen.

Ich vermute, das ist die Matrix
 10
-11

und füge das oben mal so ein.

Answer 1

( 10                (ab        (a            b
  -11 )        *    cd) =   -a+c    -b+d)
ab                  10             a-b       b
cd           *      -11    =     c-d      d)

Nun ergeben sich aus dem Vergleich der Resultate die Gleichungen
a=a-b
b=b
-a+c=c-d
d= d-b

4 Gleichungen 4 Unbekannte. Wobei die 2. Gleichung nichts bringt. Daher wahrscheinlich unendlich viele LSGn.
a=a-b → 0=-b-----> b=0
d=d-b → b=0

-a+ c=c-d→a = d, c beliebig.

Resultat: a,c Element R beliebig und

X=

a 0
c a

Rechnung ohne Gewähr. Weg sollte stimmen, geht aber vielleicht eleganter mit eurer Theorie.

Comments

Kurz vor Schluss hast du aus der korrekten Gleichung

-a+ c=c-d

die Gleichung

-a+ c=c+d

gemacht. Daher kommt dann dein Vorzeichenfehler im Element X_2,2

Answer 2

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix},X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$$$AX=\begin{pmatrix} a & b \\ -a+c & -b+d \end{pmatrix}$$$$XA=\begin{pmatrix} a-b & b \\ c-d & d \end{pmatrix}$$$$AX=XA$$$$\Leftrightarrow a=a-b\Rightarrow b=0$$$$\wedge -a+c=c-d\Rightarrow a=d$$$$=>X=\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a \end{pmatrix}$$