Lage von Geraden bestimmen

Question

Wenn ich die Punktprobe anwende um zu untersuchen, ob die Geraden zueinander parallel oder identisch sind und es heißt ja, wenn beim x auflösen keine Lösung rauskommt sind, die Geraden parallel und wenn unendlich viele Lösungen rauskommen sind sie identisch.

Frage: Also wenn ich nach dem LGS Beispielsweise für x=5 r=2 t=1 habe sind die Geraden parallel und wenn ich für x=2 r=2 und t=2 habe, sind sie identisch

Comments

Du solltest in der Fragestellung wohl das Wörtchen "gegenseitig" (gegenseitige Lage) irgendwo stehen haben, damit deine Beschreibung einigermassen Sinn macht. Ausserdem sollte in der Fragestellung stehen, ob das Problem zwei oder dreidimensional betrachtet werden soll.

https://www.geometry.at/strobl/strobl2002/vortrag02/luksch/zweitelektion_strobl.htm Ohne das Wort "gegenseitig" könnte z.B. "Hauptlage" gemeint sein. Vgl. Link (v.a. in Österreich relevante Begriffe).

Answer 1

Du betrachtest ein lineares Gleichungssystem und nicht nur die Lösung für x = 5 oder x = 2. Das wäre ja nur eine einzige Lösung.

Wenn Geraden parallel sind dann gibt es keine Werte für die Parameter r und t für die alle Gleichungen erfüllt sind.

Wenn Geraden identisch sind dann gibt es unendlich viele Lösungen für die Parameter r und t für die alle Gleichungen erfüllt sind.

Wenn Geraden sich schneiden dann gibt es genau eine Lösung für die Parameter r und t für die alle Gleichungen erfüllt sind.

Comments

Ja, also wenn für die Parameter x, r und t bei allen eine 2 rauskommt sind sie identisch weil die ja alle den gleichen Wert haben und wenn Unterschiedliche Lösungen rauskomme sind die geraden parallel

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Ja, also wenn für die Parameter x, r und t bei allen eine 2 rauskommt sind sie identisch weil die ja alle den gleichen Wert haben und wenn Unterschiedliche Lösungen rauskomme sind die geraden parallel

Das ist so definitiv verkehrt.

Das hat nichts damit zu tun, ob die Parameter r und t denselben Wert haben. Und x ist in der Regel auch kein Parameter, sondern eine Koordinate.

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x war ein Beispiel statt x hätte ich auch s nehmen können.. komisch... wir hatten das im Unterricht bis jetzt immer so gemacht und habe auch gerade ein Video dazu angeguckt und da wurde es ebenfalls so erklärt. Trotzdem danke für deine Antwort

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Vielleicht gibst du mal ein Beispiel

Jede Geradengleichung in Parameterform hat doch nur einen Parameter. Also bei Zwei geraden z.B. die Parameter r und t. Was soll dann noch ein dritter Parameter s dabei?

Wir reden vermutlich aneinander vorbei.

Answer 2

Hallo,

du kannst dir zur Bestimmung der gegenseitigen Lage von Geraden folgendes Schema merken:

1. Prüfen, ob die Richtungsvektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) ein Vielfaches voneinander sind, also ob \( \vec{u} \) = k·\( \vec{v} \)

1. Ja, dann sind die Geraden parallel oder identisch

2. Nein, dann schneiden sie sich oder sind windschief

Im 1. Fall mit der Punktprobe prüfen, ob sie identisch sind, d.h. du setzt den Stützvektor von g mit h gleich. Geht dieses Gleichungssystem auf, sind sie identisch, sonst echt parallel.

Im 2. Fall prüfen, ob sich g und h schneiden durch Gleichsetzen g = h

Ergibt dieses Gleichungssystem eindeutige Werte für r und s, dann schneiden sich die Geraden, wenn nicht, dann sind sie windschief.

Falls ihr einen Taschenrechner benutzen dürft, kannst du die Geradengleichungen direkt gleichsetzen, um im ersten Schritt das daraus resultierende lineare Gleichungssystem zu klösen.

Bei einer eindeutigen Lösung schneiden sich die Geraden, bei unendlich vielen Lösungen sind sie identisch. Falls das Gleichungssystem keine Lösung hat, prüfen, ob sie echt parallel sind (\( \vec{u} \) = k·\( \vec{v} \) oder windschief.

Gruß, Silvia