Für A Teilmenge von metrischem Raum M zeigen, dass A=A° gdw. A offen ist. Sowie ein weiterer Beweis.

Question

Aufgabe:

Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei $A\subseteq M$. Beweisen Sie:

(1) A offen $\Leftrightarrow$ $A=A°$

(2) A abgeschlossen $\Leftrightarrow$ $A=\overline{A}$

Problem/Ansatz:

Irgendwie stehe ich bei den Aufgaben auf dem Schlauch.. Wäre Nett wenn jem. mir da helfen könnte oder zum. nen Tipp in die richtige Richtung geben könnte.

Answer 1

zu 1: A offen =>  für jedes x∈A ist A eine Umgebung von x

                   => für jedes    x∈A gilt :  x ist innerer Punkt von A

                   ==>    x ∈ A° .

            Also A ⊆ A°  . Andererseits ist immer A°  ⊆ A ; denn jeder

innere Punkt von A ist per. Def. ein Punkt von A.

umgekehrt:  Sei A ⊆ M mit  A° =A .

Nach Def. gilt in jedem metr. Raum  A offen <=>

Für alle   x∈A gibt es ein ε>0, so dass für alle y ∈M gilt    d(x,y)< ε ==>   y ∈A. #

Sei also x∈A . Wegen   A° =A ist x innerer Punkt von A.

==>  Es gibt eine ε-Umgebung von x mit U_ε(x) ⊆ A.

Dieses ε ist das in # gesuchte ε, denn für alle y∈M gilt

          d(x,y)< ε ==>   y∈U_ε(x) und wegen Uε(x) ⊆ A also y ∈A.  q.e.d.

Comments

Vielen Dank, das hilft mir sehr!

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Hast du vielleicht noch nen Tipp für die 2?

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A abgeschlossen bedeutet doch nur M\A ist offen.

Dann kannst du es ähnlich machen.

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Ah ok Dankeschön!