zu 1: A offen => für jedes x∈A ist A eine Umgebung von x
=> für jedes x∈A gilt : x ist innerer Punkt von A
==> x ∈ A° .
Also A ⊆ A° . Andererseits ist immer A° ⊆ A ; denn jeder
innere Punkt von A ist per. Def. ein Punkt von A.
umgekehrt: Sei A ⊆ M mit A° =A .
Nach Def. gilt in jedem metr. Raum A offen <=>
Für alle x∈A gibt es ein ε>0, so dass für alle y ∈M gilt d(x,y)< ε ==> y ∈A. #
Sei also x∈A . Wegen A° =A ist x innerer Punkt von A.
==> Es gibt eine ε-Umgebung von x mit Uε(x) ⊆ A.
Dieses ε ist das in # gesuchte ε, denn für alle y∈M gilt
d(x,y)< ε ==> y∈Uε(x) und wegen Uε(x) ⊆ A also y ∈A. q.e.d.