Wie formt man diese Vektoren um?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

c) \( [\vec{a}+\vec{b}, \vec{b},-1 \vec{c}] \)

Problem/Ansatz:

Wieso kann man das so umformen?

Text erkannt:

c) \( [\vec{a}+\vec{b}, \vec{b},-1 \vec{c}]=-1[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=-1 \cdot((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})= \)

Answer 1

\((\vec{a}+\vec{b})\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{b}\)

Ersteres wegen Distributivgesetz, letzteres wegen \(\vec{b}\times\vec{b}=\vec{0}\).

Answer 2

siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt#Eigenschaften

und wende diese Gesetze an:

$$ [\vec{a}+\vec{b}, \vec{b},-1 \vec{c}] $$

$$ =[\vec{a}, \vec{b},-1 \vec{c}]+ [\vec{b}, \vec{b},-1 \vec{c}] $$

$$ =[\vec{a}, \vec{b},-1 \vec{c}]+ \vec{0}$$

$$=-1[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=-1 \cdot((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}) $$