Zeigen Sie, dass wenn ein Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen eine eindeutige Lösung besitzt, dann …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass wenn ein Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen eine eindeutige Lösung besitzt, dann gilt m≥n.

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe muss als Text beantwortet werden.

Ich weiß, dass das Gauß-Verfahren und das Gauß-Jordan Verfahren angewendet werden muss, um zu zeigen, dass ein Gleichungssystem nur eine eindeutige Lösung besitzt.

Answer 1

für m<n sind n-m Variable frei wählbar und das Gleichungssystem ist nicht mehr eindeutig lösbar. m≥n ist also eine notwendige Bedingung für eindeutige Lösbarkeit.

Answer 2

Aloha :)

In einem Gleichungssystem mit \(n\) Variablen gibt es zunächst \(n\) Freiheitsgrade. Ein Freiheitsgrad bedeutet, dass du den Wert für eine Varibale völlig frei wählen kannst.

Jede lineare Gleichung kannst du so umstellen, dass links eine Variable steht und rechts eine Linearkombination aller anderen Variablen. Dadurch geht dir ein Freiheitsgrad verloren, denn die Variable auf der linken Seite der Gleichung kann ja nun nicht mehr frei gewählt werden, sondern hängt von der Wahl aller Variablen auf der rechten Seite ab. Eine Gleichung reduziert also die Zahl der Freiheitsgrade um \(1\).

Damit es bei \(n\) Variablen keine freie Wahl mehr gibt, also eine eindeutige Lösung exisitert, muss es mindestens(!) \(m=n\) Gleichungen geben. Das "mindestens" deswegen, weil es ja äquivalente Gleichungen geben könnte (also solche, die man durch Multiplikation beider Seiten mit einer Konstanten ineinander überführen kann).

Eine notwendige Voraussetzungen für die eindeutige Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems ist daher, dass es mindestens so viele Gleichungen wie Variablen gibt: \(m\ge n\).