Für welchen Wert von a besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung?

Question

Aufgabe:

… Für welchen Wert von a besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung?

$$\begin{pmatrix} 1&2&4\\2&1&2\\1&2&(\text{a}-4) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \text{x}\\ \text{y}\\ \text{z}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\4\\ a\end{pmatrix}$$

Answer 1

Fange doch mal an, es zu lösen. Spätestes dann, wenn du an eine nicht immer ausführbare Rechenoperation (wie z.B. einer Division durch 0) kommst, solltest du aufmerksam werden...

Und noch was zu meinem allgemeinen Vorgehen: Je häufiger du hier Aufgaben ohne eigene Lösungsansätze einfügst, um so sparsamer werden meine Antworten.

Comments

Fange doch mal an, es zu lösen.

Wow wie Hilfreich. Wenn ich es lösen könnte, würde ich die Frage doch gar nicht erst stellen..

1x + 2y + 4z = 6
2x +1y +2z =4
1x + 2y + (a-4) z = a

Wie soll man das denn lösen?

um so sparsamer werden meine Antworten.

Das finde ich ich gut. Hab dich ja schon mal darauf hingewiesen, dass du dir deine "Antworten" bei meinen Fragen sparen kannst.

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Wenn ich es lösen könnte, würde ich die Frage doch gar nicht erst stellen..

Ich kann mir nicht vorstellen, dass euch solche Aufgaben gestellt werden, ohne dass euch entsprechende Lösungsverfahren vermittelt wurden.

Evtl. Gauss oder so ...?

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Das finde ich ich gut.

Doppelich ist ungut. Der Rest auch.

Answer 2

Aloha :)

Schau dir die Koeffizienten-Matrix an:$$\begin{pmatrix}1 & \red2 & \green4\\2 & \red1 & \green2\\1 & \red2 & \green{a-4}\end{pmatrix}$$

und versuche z.B. den grünen Vektor durch die beiden anderen auszudrücken:$$\green{\begin{pmatrix}4\\2\\a-4\end{pmatrix}}\stackrel{?}{=}s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+t\cdot\red{\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}$$

Wegen der ersten beiden Komponenten muss \(s=0\) und \(t=2\) gelten, denn:$$\green{\binom{4}{2}}=0\cdot\binom{1}{2}+2\cdot\red{\binom{2}{1}}$$

Dann gilt für die dritte Komponente:$$\green{a-4}=0\cdot1+2\cdot\red2=4\implies a=8$$

Für den Fall \(a=8\) sind die Spaltenvektoren linear abhängig, das heißt die Koeffizienten-Matrix ist nicht invertierbar und es gibt keine eindeutige Lösung.

Für alle \(a\ne8\) sind die Spaltenvektoren linear unabhängig, das heißt die Koeffizienten-Matrix ist invertierbar und es gibt eine eindeutige Lösung.

Comments

Auch wenn es nach dem Wortlaut der Aufgabe nicht verlangt ist: Für a=8 gibt es keine Lösung, da sich dann die 1. und 3. Zeile widersprechen.

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Danke Mathhilf, das ist eine wichtige Ergänzung für Hikoba:

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen.

Hier haben wir für \(a=8\) den Fall von genau einer Lösung ausgeschlossen. Das heißt, in diesem Fall gibt es entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.