Komplexezahlen (Summe ausrechnen)

Question

Aufgabe: Bei der folgenden Aufgabe soll die Summe ermittelt werden. (2-i)^k    k=1 Die Summe geht von 1 bis 15

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Aufgabe mit den binomischen Formeln auszurechnen doch dies hat leider nicht ganz geklappt.

Comments

Benutze die Formel für eine geometrische Summe

Gruß Mathhilf

Answer 1

Eine Möglichkeit:

(2 - i)² = 3 - 4i
(2 - i)⁴ = (3 - 4i)² = -7 - 24i
(2 - i)⁸ = (-7 - 24i)² = -527 + 336i
(2 - i)¹⁶ = (-527 + 336i)² = 164833 - 354144i.$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{15}(2-\mathrm i)^k&=\frac{(2-\mathrm i)^{16}-(2-\mathrm i)}{(2-\mathrm i)-1}=\frac{164831-354143\mathrm i}{1-\mathrm i}=\frac{(164831-354143\mathrm i)\cdot(1+\mathrm i)}{(1-\mathrm i)\cdot(1+\mathrm i)}\\&=259487-94656\mathrm i.\end{aligned}$$