Berechne die Diagonalen.

Question

Aufgabe:

In einer Raute mit 40 cm Umfang ist ein Winkel 50 Grad. Berechne die Diagonalen.

Problem/Ansatz:

Wie soll man mit Umfang und Winkel, die Diagonalen berechnen? Bitte eine klare Antwort geben:)

Answer 1

Hallo,

da eine Raute vier gleich lange Seiten hat, kannst du die Länge der Seite a mit dem Umfang bestimmen.

Für die Diagonalen gilt

\(e=2\cdot a\cdot cos\bigg(\frac{1}{2}\alpha\bigg)\\ f=2\cdot a\cdot sin\bigg(\frac{1}{2}\alpha\bigg)\)

Überprüfen kannst du deine Berechnungen hier: https://www.matheretter.de/rechner/raute?a=10&wa=50

Gruß, Silvia

Answer 2

Die Diagonalenlängen sind d=40·cos(25°) und e=40·sin(25°).

Answer 3

In einer Raute sind die vier Seiten gleich lang. Seiten länge ist also \(\frac{40\text{ cm}}{4} = 10\text{ cm}\)

Die Diagonalen \(e\) und \(f\) teilen die Raute in vier rechtwinklige Dreiecke mit Katheten \(\frac{e}{2}\) und \(\frac{f}{2}\). Laut Satz des Pythagoras gilt deshalb

        \(\left(\frac{e}{2}\right)^2+\left(\frac{f}{2}\right)^2 = 10^2\)

In einem dieser Dreiecke ist ein Winkel \(\frac{50°}{2} = 25°\) groß. Mittels Trigonometrie bekommt man

        \(\frac{e/2}{10} = \sin 25°\)

Löse das Gleichungssystem aus diesen zwei Gleichungen.