Bestimmen sie die Gleichung der Wendetangente von f

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die Gleichung der Wendetangente von f

(1-x)•e^-x

Kann mir hier jemand bitte helfen

Answer 1

Die Wendestelle scheint in der Nähe von x = 3 zu sein:

Tatsächlich hat die zweite Ableitung der Funktion bei x=3 eine Nullstelle (notwendige Bedingung), und die dritte Ableitung ist dort ungleich Null (hinreichende Bedingung). Der Wendepunkt ist also bei (3, -2e^-3). Mit diesem Punkt und der Steigung (erste Ableitung bei x=3) ist die Gerade (Wendetangente) definiert.

Wenn es unklar ist, wie man aus einem Punkt und einer Steigung eine Geradengleichung macht, bitte nachfragen.

Answer 2

Hallo,

leite die Funktion 2-mal ab$$f(x) = (1-x)\cdot e^{-x} \\ f'(x) = (x-2)\cdot e^{-x} \\ f''(x) = (3 - x)\cdot e^{-x}$$durch Nullsetzen von \(f''\) kommt man zur Wendestelle \(x_w\)$$f''(x_w) = (3 - x_w)\cdot e^{-x_w} = 0 \\\implies x_w=3$$und mit der Punkt-Steigungsform zur Geradegleichung der Wendetangente \(t\)$$t(x) = f'(x_w)(x-x_w) + f(x_w) = e^{-3}(x-5)$$Der Plot zeigt das ganze:

~plot~ (1-x)*e^(-x);e^(-3)(x-5);{3|-2*e^(-3)};[[-1|6|-1|3]] ~plot~

Answer 3

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(x)

xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=(1-x)*e^(-1*x) liegen soll

ableiten nach

Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´

Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung

elementare Ableitung f(x)=e^(x) → f´(x)=e^(x)

u=1-x → u´=du/dx=-1

v=e^(-1*x) → Substitution (ersetzen) z=-1*x → z´=dz/dx=-1  f(z)=e^(z) → f´(z)=e^(z)

v´=dv/dx=z´*f´(z)=-1*e^(-1*x)

f´(x)=-1*e^(-1*x)+(1-x)*(-1)*e^(1*x)

f´(x)=e^(-1*x)*(-1-1+x)

f´(x)=e^(-1*x)*(x-2)

noch mal abgeleitet

f´´(x)=0=e^(-1*x)*(3-x) hier kann e^(-1*x) nicht NULL werden

0=3-x → x=xw=3

Wendepunkt bei xw=3

f(xo)=f(xw)=f(3)=(1-3)*e^(-1*3)=-2*e^(-3)

f´(xo)=f´(xw)=f´(3)=e^(-1*3)*(3-2)=e^(-3)*1=e^(-3)

eingesetzt

ft(x)=e^(-3)*(x-3)+(-2)*e^(-3)

ft(x)=e^(-3)*x-3*e^(-3)-2*e^(-3)

yt=ft(x)=e^(-3)*x-5*e^(-3)

Infos

Text erkannt:

Tangente/Normale an \( f(x) \) Sehr oft vird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleicheng an der Punktion \( f(x) \) gesucht. Die Stelle,vo die Tangente oder Normale 1fegen soll,vird oft \( m i t \) he bexeschnet
Tangente und Normale sind eine Gerade der Porm \( y=f(x)=m^{*} x+b \)
Formeln sindt "Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x o)+f\left(x_{0}\right) \)
"Normaleng leichung" \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f(x 0) \)
Her leitung Geradengleichung \( y=f(x)=m^{*} x+b \) und xo ist die stelle, wo die Tangente/Normale 1iegen soll. gegeben ist die Punktion \( \mathrm{f}(x) \). Steigung "w" an der Stel1e "xo" ist m-f' (xo) diese ist die 1,te Ableitung der Funktion \( f(x) \), also \( f^{\prime}(x) \). ergibt \( y t=f_{t}(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( x=x \circ \) und gleichgesetzt \( f\left(x_{0}\right)=y t \)
\( f(x 0)=f^{\prime}(x 0)^{*} x o+b \) ergibt \( b=f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)=x_{0} \)
a1so \( y t=f t(x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x 0=f^{\prime}\left(x_{0}\right) *(x-x 0)+f\left(x_{0}\right) \)
selber Rechenwee wit der Normalengleichung mit \( y=f(x)=\ln * x+b \)
Bedingung fur eine Normale \( m 2=-1 / m 1 \) hier ist \( m 1=f^{\prime}(x \circ) \)
efngesetzt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( b=f(x 0)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{* x_{0}} \)
ergibt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+f\left(x_{0}\right)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x o=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) \)
\( \underline{\text { Ubungsbeispie1 }} \) gegeben:Die Punktion \( y=f(x)=x^{2} \) ist eine Parabel
gesucht:D1e Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Losung: \( f(x)=x^{2} \) abgeleftet \( f^{\prime}(x)=2^{*} x \) mit \( x 0=2 \) ergibt \( f(2)=2^{2}=4 \)
\( f^{\prime}(2)=2 * 2=4 \) Werte in die Formeln eingesetzt.
"Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=4^{*}(x-2)+4=4 * x-8+4=4 * x-4 \) "Sormalengleichung" \( y n=f n(x)=-1 / 4^{*}(x-2)+4 m-1 / 4^{*} x+1 / 2+4=-1 / 4 * x+4,5 \)

 ~plot~(1-x)*e^(-1*x);0,0498*x-0,2489;[[-5|5|-2|3]];x=3~plot~