Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(x)
xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=(1-x)*e^(-1*x) liegen soll
ableiten nach
Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´
Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung
elementare Ableitung f(x)=e^(x) → f´(x)=e^(x)
u=1-x → u´=du/dx=-1
v=e^(-1*x) → Substitution (ersetzen) z=-1*x → z´=dz/dx=-1 f(z)=e^(z) → f´(z)=e^(z)
v´=dv/dx=z´*f´(z)=-1*e^(-1*x)
f´(x)=-1*e^(-1*x)+(1-x)*(-1)*e^(1*x)
f´(x)=e^(-1*x)*(-1-1+x)
f´(x)=e^(-1*x)*(x-2)
noch mal abgeleitet
f´´(x)=0=e^(-1*x)*(3-x) hier kann e^(-1*x) nicht NULL werden
0=3-x → x=xw=3
Wendepunkt bei xw=3
f(xo)=f(xw)=f(3)=(1-3)*e^(-1*3)=-2*e^(-3)
f´(xo)=f´(xw)=f´(3)=e^(-1*3)*(3-2)=e^(-3)*1=e^(-3)
eingesetzt
ft(x)=e^(-3)*(x-3)+(-2)*e^(-3)
ft(x)=e^(-3)*x-3*e^(-3)-2*e^(-3)
yt=ft(x)=e^(-3)*x-5*e^(-3)
Infos

Text erkannt:
Tangente/Normale an f(x) Sehr oft vird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleicheng an der Punktion f(x) gesucht. Die Stelle,vo die Tangente oder Normale 1fegen soll,vird oft mit he bexeschnet
Tangente und Normale sind eine Gerade der Porm y=f(x)=m∗x+b
Formeln sindt "Tangentengleichung" yt=ft(x)=f′(x0)∗(x−xo)+f(x0)
"Normaleng leichung" yn=fn(x)=−1/f′(x0)∗(x−x0)+f(x0)
Her leitung Geradengleichung y=f(x)=m∗x+b und xo ist die stelle, wo die Tangente/Normale 1iegen soll. gegeben ist die Punktion f(x). Steigung "w" an der Stel1e "xo" ist m-f' (xo) diese ist die 1,te Ableitung der Funktion f(x), also f′(x). ergibt yt=ft(x)=f′(x0)∗x+b mit x=x∘ und gleichgesetzt f(x0)=yt
f(x0)=f′(x0)∗xo+b ergibt b=f(x0)−f′(x0)=x0
a1so yt=ft(x)=f′(x0)∗x+f(x0)−f′(x0)∗x0=f′(x0)∗(x−x0)+f(x0)
selber Rechenwee wit der Normalengleichung mit y=f(x)=ln∗x+b
Bedingung fur eine Normale m2=−1/m1 hier ist m1=f′(x∘)
efngesetzt yn=fn(x)=−1/f′(x0)∗x+b mit b=f(x0)+1/f′(x0)∗x0
ergibt yn=fn(x)=−1/f′(x0)∗x+f(x0)+1/f′(x0)∗xo=−1/f′(x0)∗(x−x0)+f(x0)
Ubungsbeispie1 gegeben:Die Punktion y=f(x)=x2 ist eine Parabel
gesucht:D1e Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Losung: f(x)=x2 abgeleftet f′(x)=2∗x mit x0=2 ergibt f(2)=22=4
f′(2)=2∗2=4 Werte in die Formeln eingesetzt.
"Tangentengleichung" yt=ft(x)=4∗(x−2)+4=4∗x−8+4=4∗x−4 "Sormalengleichung" yn=fn(x)=−1/4∗(x−2)+4m−1/4∗x+1/2+4=−1/4∗x+4,5
Plotlux öffnen f1(x) = (1-x)·e^(-1·x)f2(x) = 0,0498·x-0,2489Zoom: x(-5…5) y(-2…3)x = 3