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Aufgabe:

Bestimmen sie die Gleichung der Wendetangente von f

(1-x)•e^-x


Kann mir hier jemand bitte helfen

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Die Wendestelle scheint in der Nähe von x = 3 zu sein:

blob.png


Tatsächlich hat die zweite Ableitung der Funktion bei x=3 eine Nullstelle (notwendige Bedingung), und die dritte Ableitung ist dort ungleich Null (hinreichende Bedingung). Der Wendepunkt ist also bei (3, -2e-3). Mit diesem Punkt und der Steigung (erste Ableitung bei x=3) ist die Gerade (Wendetangente) definiert.

Wenn es unklar ist, wie man aus einem Punkt und einer Steigung eine Geradengleichung macht, bitte nachfragen.

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Hallo,

leite die Funktion 2-mal abf(x)=(1x)exf(x)=(x2)exf(x)=(3x)exf(x) = (1-x)\cdot e^{-x} \\ f'(x) = (x-2)\cdot e^{-x} \\ f''(x) = (3 - x)\cdot e^{-x}durch Nullsetzen von ff'' kommt man zur Wendestelle xwx_wf(xw)=(3xw)exw=0    xw=3f''(x_w) = (3 - x_w)\cdot e^{-x_w} = 0 \\\implies x_w=3und mit der Punkt-Steigungsform zur Geradegleichung der Wendetangente ttt(x)=f(xw)(xxw)+f(xw)=e3(x5)t(x) = f'(x_w)(x-x_w) + f(x_w) = e^{-3}(x-5)Der Plot zeigt das ganze:

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f1(x) = (1-x)·e^(-x)f2(x) = e^(-3)(x-5)P(3|-2·e^(-3))Zoom: x(-1…6) y(-1…3)


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Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(x)

xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=(1-x)*e^(-1*x) liegen soll

ableiten nach

Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´

Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung

elementare Ableitung f(x)=e^(x) → f´(x)=e^(x)

u=1-x → u´=du/dx=-1

v=e^(-1*x) → Substitution (ersetzen) z=-1*x → z´=dz/dx=-1  f(z)=e^(z) → f´(z)=e^(z)

v´=dv/dx=z´*f´(z)=-1*e^(-1*x)

f´(x)=-1*e^(-1*x)+(1-x)*(-1)*e^(1*x)

f´(x)=e^(-1*x)*(-1-1+x)

f´(x)=e^(-1*x)*(x-2)

noch mal abgeleitet

f´´(x)=0=e^(-1*x)*(3-x) hier kann e^(-1*x) nicht NULL werden

0=3-x → x=xw=3

Wendepunkt bei xw=3

f(xo)=f(xw)=f(3)=(1-3)*e^(-1*3)=-2*e^(-3)

f´(xo)=f´(xw)=f´(3)=e^(-1*3)*(3-2)=e^(-3)*1=e^(-3)

eingesetzt

ft(x)=e^(-3)*(x-3)+(-2)*e^(-3)

ft(x)=e^(-3)*x-3*e^(-3)-2*e^(-3)

yt=ft(x)=e^(-3)*x-5*e^(-3)

Infos

Tangente u Normale.JPG

Text erkannt:

Tangente/Normale an f(x) f(x) Sehr oft vird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleicheng an der Punktion f(x) f(x) gesucht. Die Stelle,vo die Tangente oder Normale 1fegen soll,vird oft mit m i t he bexeschnet
Tangente und Normale sind eine Gerade der Porm y=f(x)=mx+b y=f(x)=m^{*} x+b
Formeln sindt "Tangentengleichung" yt=ft(x)=f(x0)(xxo)+f(x0) y t=f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x o)+f\left(x_{0}\right)
"Normaleng leichung" yn=fn(x)=1/f(x0)(xx0)+f(x0) y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f(x 0)
Her leitung Geradengleichung y=f(x)=mx+b y=f(x)=m^{*} x+b und xo ist die stelle, wo die Tangente/Normale 1iegen soll. gegeben ist die Punktion f(x) \mathrm{f}(x) . Steigung "w" an der Stel1e "xo" ist m-f' (xo) diese ist die 1,te Ableitung der Funktion f(x) f(x) , also f(x) f^{\prime}(x) . ergibt yt=ft(x)=f(x0)x+b y t=f_{t}(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b mit x=x x=x \circ und gleichgesetzt f(x0)=yt f\left(x_{0}\right)=y t
f(x0)=f(x0)xo+b f(x 0)=f^{\prime}(x 0)^{*} x o+b ergibt b=f(x0)f(x0)=x0 b=f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)=x_{0}
a1so yt=ft(x)=f(x0)x+f(x0)f(x0)x0=f(x0)(xx0)+f(x0) y t=f t(x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x 0=f^{\prime}\left(x_{0}\right) *(x-x 0)+f\left(x_{0}\right)
selber Rechenwee wit der Normalengleichung mit y=f(x)=lnx+b y=f(x)=\ln * x+b
Bedingung fur eine Normale m2=1/m1 m 2=-1 / m 1 hier ist m1=f(x) m 1=f^{\prime}(x \circ)
efngesetzt yn=fn(x)=1/f(x0)x+b y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b mit b=f(x0)+1/f(x0)x0 b=f(x 0)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{* x_{0}}
ergibt yn=fn(x)=1/f(x0)x+f(x0)+1/f(x0)xo=1/f(x0)(xx0)+f(x0) y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+f\left(x_{0}\right)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x o=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)
 Ubungsbeispie1  \underline{\text { Ubungsbeispie1 }} gegeben:Die Punktion y=f(x)=x2 y=f(x)=x^{2} ist eine Parabel
gesucht:D1e Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Losung: f(x)=x2 f(x)=x^{2} abgeleftet f(x)=2x f^{\prime}(x)=2^{*} x mit x0=2 x 0=2 ergibt f(2)=22=4 f(2)=2^{2}=4
f(2)=22=4 f^{\prime}(2)=2 * 2=4 Werte in die Formeln eingesetzt.
"Tangentengleichung" yt=ft(x)=4(x2)+4=4x8+4=4x4 y t=f t(x)=4^{*}(x-2)+4=4 * x-8+4=4 * x-4 "Sormalengleichung" yn=fn(x)=1/4(x2)+4m1/4x+1/2+4=1/4x+4,5 y n=f n(x)=-1 / 4^{*}(x-2)+4 m-1 / 4^{*} x+1 / 2+4=-1 / 4 * x+4,5

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f1(x) = (1-x)·e^(-1·x)f2(x) = 0,0498·x-0,2489Zoom: x(-5…5) y(-2…3)x = 3

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