Ermittle die gleichung der Funktion sowie die einer wendetangente

Question

Aufgabe:   Der Graph Gh einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse er hat im Punkt (2/0) die Steigung „2"  und im Punkt (-1/y) einen Wendepunkt. Ermittle die gleichung der Funktion h(x) sowie die einer wendetangente

Answer 1

Wendetangente:

t(x) = (x+1)*f '(-1)+ f(-1)

Answer 2

Der Graph Gh einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

        \(h(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\)

ist symmetrisch zur y-Achse

Alle Exponenten sind gerade, das heißt \(b = 0\) und \(d = 0\). Damit vereinfacht sich die Funktionsgleichung zu

(1)        \(h(x) = ax^4 + cx^2 + e\).

er hat im Punkt (2/0)

Also ist \(h(2) = 0\) und somit

(2)        \(0 = a\cdot 2^4 + c\cdot 2^2 + e\).

im Punkt (2/0) die Steigung „2"

Die Steigung ist die Ableitung. Setzt man also in die Ableitungsfunktion \(2\) für die \(x\)-Koordinate ein, dann bekommt man 2 als Ergebnis. Oder kurz formuliert \(h'(2) = 2\).

Wegen (1) ist \(h'(x) = 4ax^3 + 2cx\). Also ist

(3)        \(2 = 4a\cdot 2^3 + 2c\cdot 2\).

und im Punkt (-1/y) einen Wendepunkt.

Insbesondere ist die Stelle \(x=-1\) eine Wendestelle. An Wendestellen ist die zweite Ableitung 0.

Es ist \(h''(x) = 12ax^2 + 2c\). Also muss

(4)        \(0 = 12a\cdot (-1)^2 + 2c\)

sein.

Löse das Gleichungssystem (2), (3), (4). Setze die Lösung in (1) ein.

Answer 3

Der Graph Gh einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse er hat im Punkt (2/0) die Steigung „2"  und im Punkt (-1/y) einen Wendepunkt. Ermittle die gleichung der Funktion h(x) sowie die einer wendetangente

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f'(0) = 0
f'''(0) = 0

Die ersten beiden Bedingungen benutzt man bei der Seite für die Achsensymmetrie.
Sie sorgen nur dafür im Ansatz f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e die Koeffizienten b und d = 0 sind.

f(2) = 0
f'(2) = 2
f''(-1) = 0

Gleichungssystem

d = 0
6b = 0
16a + 8b + 4c + 2d + e = 0
32a + 12b + 4c + d = 2
12a - 6b + 2c = 0

Errechnete Funktion

f(x) = 0,25·x^4 - 1,5·x^2 + 2

Answer 4

Aufgabe: Der Graph Gh einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse er hat im Punkt (2|0) die Steigung „2"  und im Punkt (-1/y) einen Wendepunkt. Ermittle die Gleichung der Funktion h(x) sowie die einer Wendetangente.
Weg über die Linearfaktorenform:

f(x)=a*[(x^2-4)*(x^2-N^2)]=a*[x^4-x^2N^2-4x^2+4N^2]
f´(x)=a*[4x^3-2xN^2-8x]
f´(2)=a*[4*2^3-2*2N^2-8*2]=a*[16-4N^2]
1.)a*[16-4N^2]=2     a=\( \frac{1}{8-2N^2} \)
f´´(x)=a*[12x^2-2N^2-8]
f´´(-1)=a*[12-2N^2-8]
2.) a*[12-2N^2-8]=0    mit a≠0
4-2N^2=0        N^2=2
N₁=\( \sqrt{2} \)
N₂=-\( \sqrt{2} \)
a=\( \frac{1}{4} \)
f(x)=\( \frac{1}{4} \)*(x^2-4)*(x^2-2)