Wie lautet die Funktionsgleichung von f?

Question

Aufgabe:

Der Graph Gf einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durchläuft den Koordinatenursprung und besitzt den Wendepunkt W(2/4), an dem der graph eine Steigung von „-3" hat. Wie lautet die Funktionsgleichung von f?

Answer 1

Der Graph Gf einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durchläuft den Koordinatenursprung und besitzt den Wendepunkt W(2|4), an dem der Graph eine Steigung von „-3" hat. Wie lautet die Funktionsgleichung von f?

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

P(0|0)

f(0)=d

1.) d=0

W(2|4)

f(2)=a*2^3+b*2^2+c*2+0

2.) 8a+4b+2c=4

Steigung m=3 bei W(2|4)

f´(x)=3ax^2+2bx+c

f´(2)=3a*2^2+2b*2+c

3.)12a+4b+c=-3

Wendepunkteigenschaft W(2|4)

f´´(x)=6ax+2b

f´´(2)=6a*2+2b

4.)12a+2b =0

Löse nun das Gleichungssystem.

Answer 2

Aloha :)

Die Gesuchte ist eine Funktion 3. Grades:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$Sie läuft durch den Ursprung$$0\stackrel!=f(0)=d\implies\underline{\underline{d=0}}$$Der Punkt \((2|4)\) ist ein Wendepunkt:$$0\stackrel!=f''(2)=12a+2b\implies \underline{\underline{6a+b=0}}$$Beim Punkt \((2|4)\) ist die Steigung gleich \((-3)\):$$-3\stackrel!=f'(2)=12a+4b+c\stackrel{(12a+2b=0)}{=}2b+c\implies\underline{\underline{2b+c=-3}}$$Der Punkt \((2|4)\) liegt auf dem Graphen:$$4\stackrel!=f(2)=8a+4b+2c\implies4a+2b+c=2\stackrel{(2b+c=-3)}{\implies}4a-3=2\implies\underline{\underline{a=\frac54}}$$Damit sind wir fertig:$$b=-6a=-\frac{30}{4}=-\frac{15}{2}\quad;\quad c=-3-2b=-3+15=12$$Die Gesuchte ist:$$f(x)=\frac54x^3-\frac{15}{2}x^2+12x$$

~plot~ 5/4*x^3-15/2*x^2+12x ; [[-1|4|-2|6]] ; {2|4} ; {0|0} ; -3x+10 ~plot~