Wie lautet die Funktionsgleichung bei der Aufgabe?

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinaten-
systems und hat den Tiefpunkt T (1 | - 2). Wie lautet die Funktionsgleichung?

Problem/Ansatz:

Wie soll ich die Aufgabe machen?

Tipp zur Bearbeitung: Wenn Sie die allgemeine Funktionsvorschrift der gesuchten Funktion notieren, berücksichtigen Sie durch die angegebene Symmetrie, dass bestimmte Variablen 0 sein müssen. Dadurch brauchen Sie nicht so viele Gleichungen, wie man zunächst denken würde!

Answer 1

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Eigenschaften

f(0) = 0
f''(0) = 0 → Die ersten 2 Bedingungen sind nur für die Punktsymmetrie
f(1) = -2
f'(-1) = 0

Gleichungssystem

d = 0
2b = 0 → Auch hier sind die ersten beiden Gleichungen nur für die Symmetrie
a + b + c + d = -2
3a - 2b + c = 0

Errechnete Funktion

f(x) = x^3 - 3·x

Skizze

~plot~ x^3-3x ~plot~

Answer 2

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinaten-
systems und hat den Tiefpunkt \(T (1 | - 2)\). Wie lautet die Funktionsgleichung?

\(T (1 | - 2)\) bedeutet, dass bei Symmetrie zum Ursprung \(H(-1 | 2)\)ist.

Ich verschiebe den Graph um 2 Einheiten nach oben:

\(T (1 | - 2)\)→\(T´ (1 | 0)\) ist nun doppelte Nullstelle

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

\(N(0|0)\)→\(N´(0|2)\)

\(f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=-a*N=2\)       \(a=-\frac{2}{N}\)

\(H(-1 | 2)\)→\(H´(-1 | 4)\)

\(f(-1)=-\frac{2}{N}*(-1-1)^2*(-1-N)=\frac{2}{N}*4*(1+N)=4\)

\(\frac{2}{N}*(1+N)=1\)        \(N=-2\)     \(a=1\)

\(f(x)=(x-1)^2*(x+2)\)

2 Einheiten nach unten:

\(p(x)=(x-1)^2*(x+2)-2\)