Funktionsgleichung der quadratischen Funktion durch die Punkte A(0I3), B(-1I6) und C (2I3) bestimmen

Question

Ich schreibe Freitag eine Mathearbeit und benötige Hilfe !!

Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion f.

a) der Graph von f verläuft durch die Punkte A(0I3) B(-1I6) und C (2I3).

schon mal  

Answer 1

f(0)=3

f(-1)=6

f(2)=3

LGS:

c = 3

a - b + c = 6

4a + 2b + c = 3

Gelöst: a = 1, b = -2, c = 3

--> f(x) = x^2 - 2x + 3

Grüße

Comments

Wie macht man das wenn keiner von den drei angegebenen Punkten 0 als x Wert hat?

also z.B:

A(1/3); B(-1/2); C(1/0)

Da bekommt man dann ja raus: 

2 = 9a+3b+c

2 = a-b+c

3 = a+b+c

Kann man das dann direkt mit dem Matrix-System lösen oder erst noch irgendwas anderes Rechnen?

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A(1/3); B(-1/2); C(1/0)

Gibt es nicht. A und C habe den gleichen x-Wert
aber unterschiedliche Funktionswerte.

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Ah hab mich verschrieben.

C(3/2) ist richtig. Sorry

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Die Kurzversion der Lösung

A(1/3); B(-1/2);  C(3/2)
C und B haben denselben y Wert.
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt daher genau in
der Mitte von B und C bei x = 1
Bei x = 1 liegt A ( 1 | 3 )
Scheitelpunktform der Parabel

f ( x ) = ( x - 1 )^2 + 3

Die Langversion
f ( x ) = a*x^2 + b*x + c

f ( 1 ) = a*1^2 + b*1 + c = 3
f (-1) = a *(-1)^2 + b*(-1) + c = 2
f ( 3 ) = a * 3^2 + b * 3 + c = 3

a + b + c = 3
a  - b + c = 2
9*a  + 3*b + c = 2

Dies ist ein lineares Gleichungssystem welches mit
Gauß-Verfahren durch einsetzen usw zu lösen ist.

Kommst du weiter ?

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Aha gute Idee mit der Scheitelpunktform. Ist das Gauß Verfahren genau dasselbe wie das Matrix Verfahren also nur ein anderer Name, oder gibt es da Unterschiede? Wir sollen das nämlich mit der Matrixform lösen.

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Falls dir 3 Punkte gegeben sind ist die Wahrscheinlichkeit
eine Lösung über die Scheitelpunktform zu finden sehr gering.

Besser ist die " normale " Berechnungsvariante.

Die Lösung ist
f ( x ) = -1/4 * x^2 + 1/2 * x + 11/4

Meine Scheitelpunktvariante stimmt noch nicht.

Den Begriff Matrix-Verfahren kenne ich nicht.
Da mußt du einmal im Internet nachsehen.

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Irgendwie stimmen meine Überlegungen zur
Scheitelpunktvariante nicht. Ich will jetzt aber
fernsehen.

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Das ist eine Matrixform. Ich kannte das Gauß Verfahren nicht und hab mir kurz ein Video davon angeschaut. Auf dem Bild waren die Lösungen aber deutlich einfacher deswegen hab ich gefragt ob das trotzdemnoch geht.

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f ( x ) = ( x - 1 )² + 3

Die Scheitelpunktform stimmt noch nicht ganz.
Es fehlt der Vorfaktor

f ( x ) = a * ( x - 1 )² + 3
und dann einen Punkt einsetzen
f ( 3 ) = a * ( 3 - 1 )^2 + 3 = 2
a * 2^2 = -1
a = -1 / 4

f ( x ) = -1/4 * ( x - 1 )² + 3
ausmultipliziert
f ( x ) = -1/4 * ( x^2 - 2x + 1 ) + 3
f ( x ) = -1/4 * x^2 + 2/4 * x - 1/4 + 3
f ( x ) = -1/4 * x^2 + 1/2 * x + 11 / 4

und stimmt mit der anderen Lösung überein.

Nochmals : das die Scheitelpunktform bei dieser Aufgabe
angewendet werden kann ist purer Zufall und kommt nicht
so häufig vor.

Zum Matrixverfahren kann ich dir leider nichts sagen.

Ansonsten
a + b + c = 3
a  - b + c = 2
9*a  + 3*b + c = 2

Wir machen aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten 2 Gleichungen mit
2 Unbekannten und dann 1 Gleichung mit 1 Unbekannten.

a + b + c = 3
a  - b + c = 2  +
-----------------
2a + 2c = 5

a  - b + c = 2   | * 3
9*a  + 3*b + c = 2

3a  - 3b + 3c = 6  
9*a  + 3*b + c = 2  |  +
-------------------------
12a + 4c = 8

2a + 2c = 5 | * 2
12a + 4c = 8

4a + 4c = 10
12a + 4c = 8 | -
----------------
-8a = 2
a = - 1/4  stimmt

usw.

Answer 2

Da 3 Punkte angegeben sind wird eine Funktion
2.Grades angenommen

mfg Georg