Bestimmen Sie den linksseitigen Grenzwert von f an der Stelle x_{0}=0

Question

Es sei \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( f(x)=\left\{\begin{array}{rll} -\frac{|x|}{x}+1 & \text { für } & x<0 \\ \frac{x}{|x|}-2 & \text { für } & x>0 \end{array}\right. \)

(a) Bestimmen Sie den linksseitigen Grenzwert von \( f \) an der Stelle \( x_{0}=0 \).

(b) Begründen Sie, dass der Grenzwert an der Stelle \( x_{0}=0 \) nicht existiert.

Answer 1

a)

linksseitiger Grenzwert:

lim (x→0;x<0) -ΙxΙ/x+1                    für x<0 gilt: ΙxΙ = -x

lim (x→0;x<0) -(-x)/x+1 = 2

b)

rechtsseitiger Grenzwert:

lim (x→0;x>0) x/ΙxΙ -2                    für x>0 gilt: ΙxΙ = x

lim (x→0;x>0) x/x -2 = -1

 

Da linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert der Funktion f(x) an der Stelle x₀ nicht.