Ist die Funktion stetig?

Question

Für welche s ∈ ℝ ist die Funktion
f(x) = { |x|^s · sin(1/x), x≠0

       { 0 , sonst

stetig? Skizzieren Sie näherungsweise den Graphen von f(x) für s=1.

Kann mir Jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß leider nicht wie ich vorgehen muss ..

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion ist stetig für alle \(x\in\mathbb R^{\ne0}\), weil Summe, Produkt und Verkettung stetiger Funktionen wieder stetige Funktionen sind. Offen ist die Frage, ob die Funktion bei \(x=0\) stetig ist.

Da \(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) für \(x\to0\) nicht konvergiert, sondern zwischen seinen Extremwerten \((-1)\) und \(1\) alterniert, schätzen wir wie folgt ab:$$-1\le\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le 1\quad\implies\quad -|x|^s\le |x|^s\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le |x|^s$$

Für \(s<0\) divergiert \(|x|^s\). Für \(s=0\) sind die unter Schranke \((-1)\) und der obere Schranke \(1\) verschieden. Im Fall \(s>0\) jedoch konvergieren für \(x\to0\) sowohl die untere Schranke als auch die obere Schranke gegen \(0\), sodass insbesondere \(f(x)\to0\) für \(x\to0\) konvergiert. Wegen der Betragszeichen gilt das für den links- und den rechtseitigen Grenzwert. Da zusätzlich der Funktionswert \(f(0)=0\) als Sonderfall festgelegt ist, ist die Funktion stetig für alle \(s>0\).

~plot~ abs(x)*sin(1/x) ; [[-1|1|-1|1]] ~plot~

Answer 2

Also um zu Prüfen, dass sie stetig ist, hast du hier Zwei Möglichkeiten

Entweder du arbeitest mit dem epsilon-delta-kriterium oder mit dem Folgenkriterium.,

Zunächst solltest du deine kritische Stelle identifizieren, diese ist hier offensichtlicherweise die 0.

Für den Beweis bieten sich eigentlich beide Möglichkeiten an. Beim Epsilon-Delta Kriterium musst du | |x|^s + sin(1/x)| nach oben abschätzen sodass du auf die Form |x| kommst, dass nach der Vorausetzung des Kriteriums kleiner als Delta ist und somit das wieder kleiner als epsilon. Dafür musst du eine Fallunterscheidung für das s machen und separat noch schauen, was für den anderen Fall passiert.

Andere Möglichkeit: Sei an gegen 0 konvergente Folge, setzte diese Folge ein schätze nach unten und oben ab und verwende Sandwich-Satz