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Aufgabe:

1. Bestimmen Sie das dritte Taylorpolynom von
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\sin \left(x^{2}-2 y\right)+x^{4} \text { . } \)
in \( (x, y)=(0,0) \).

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Taylor-Reihe von f(x, y) bei ax=0, ay=0

= f(0, 0)

+ x fx'(0, 0) + y fy'(0, 0)

+ \( \frac{1}{2} \) [x2 fx''(0, 0) + 2xy fxy''(0, 0) + y2 fy''(0, 0)]

+ \( \frac{1}{6} \) [x3 fx'''(0, 0) + 3x2y fxxy'''(0, 0) + 3xy2 fxyy'''(0, 0) + y3 fy'''(0, 0)]

+ ...


D.h. im aktuellen Fall

= 0

+ x * 0 + y * (-2)

+ \( \frac{1}{2} \) [x2 * 2 + 2xy * 0 + y2 * 0]

+ \( \frac{1}{6} \) [x3 * 0 + 3x2y * 0 + 3xy2 * 0 + y3 * 8]

= -2y + x2 + \( \frac{4}{3} \) y3


Mein CAS liefert für das dritte Taylor-Polynom dasselbe Ergebnis.

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Es ist jeweils blau das Taylorpolynom und rot die Funktion eingezeichnet.


Approximation beim Blick auf die y-z-Ebene:

blob.png


Approximation beim Blick auf die x-z-Ebene:

blob.png


...und dreidimensional:

blob.png

Wenn mir jemand der freundlichen schlauen Mitleser mitteilen könnte, wie man die Berechnung des 3. Taylorpolynoms einer bivariaten Funktion intuitiv verständlich in Mathematica formuliert, wäre ich dankbar. Ich habe nichts gefunden.


Auch in Matlab ist es eher gewöhnungsbedürftig (man muss u.a. die Ordnung 4 angeben, und das 3. Polynom zu erhalten):

blob.png

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