Bestimmen Sie das dritte Taylorpolynom von

Question

Aufgabe:

1. Bestimmen Sie das dritte Taylorpolynom von
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\sin \left(x^{2}-2 y\right)+x^{4} \text { . } \)
in \( (x, y)=(0,0) \).

Answer 1

Taylor-Reihe von f(x, y) bei a_x=0, a_y=0

= f(0, 0)

+ x f_x'(0, 0) + y f_y'(0, 0)

+ \( \frac{1}{2} \) [x² f_x''(0, 0) + 2xy f_xy''(0, 0) + y² f_y''(0, 0)]

+ \( \frac{1}{6} \) [x³ f_x'''(0, 0) + 3x²y f_xxy'''(0, 0) + 3xy² f_xyy'''(0, 0) + y³ f_y'''(0, 0)]

+ ...

D.h. im aktuellen Fall

= 0

+ x * 0 + y * (-2)

+ \( \frac{1}{2} \) [x² * 2 + 2xy * 0 + y² * 0]

+ \( \frac{1}{6} \) [x³ * 0 + 3x²y * 0 + 3xy² * 0 + y³ * 8]

= -2y + x² + \( \frac{4}{3} \) y³

Mein CAS liefert für das dritte Taylor-Polynom dasselbe Ergebnis.

Comments

Es ist jeweils blau das Taylorpolynom und rot die Funktion eingezeichnet.

Approximation beim Blick auf die y-z-Ebene:

Approximation beim Blick auf die x-z-Ebene:

...und dreidimensional:

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Wenn mir jemand der freundlichen schlauen Mitleser mitteilen könnte, wie man die Berechnung des 3. Taylorpolynoms einer bivariaten Funktion intuitiv verständlich in Mathematica formuliert, wäre ich dankbar. Ich habe nichts gefunden.

Auch in Matlab ist es eher gewöhnungsbedürftig (man muss u.a. die Ordnung 4 angeben, und das 3. Polynom zu erhalten):