Dreieck berechnen, Sachaufgabe

Question

Hier die Aufgabenstellung:

Ein Park hat die Form eines Dreiecks mit den Seitenlängen 490m, 450m und 410m. Ein grader Fußweg verläuft vom gegenüberliegenden Eckpunkt so, dass er auf die Mitte der kürzesten Seite trifft. Wie lang ist der Fußweg?

Es ist kein Rechtwinkliges oder gleichschenkliges Dreieck.

Comments

Benutze den Kosinussatz vgl: https://www.mathelounge.de/63378/dreiecks-berechnen-seiten-gegeben-dreieck-handelt-beliebiges

oder die Formel, mit der man aus den Seitenlängen eines Dreiecks die Fläche berechnen kann.

Formel von Heron hier : https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksfläche

Answer 1

Mit dem Kosinussatz kann man zunächst den Winkel alpha berechnen. Es gilt:

410 ² = 490 ²+ 450 ² - 2 * 490 * 450 * cos ( alpha )

<=> alpha = arccos ( ( 410 ²- 490 ²+ 450 ² ) /  ( - 2 * 490 * 450 ) ) = 51,5 °

Nun kann man den Winkel beta mit dem Sinussatz berechnen. Es gilt:

sin ( alpha ) / 410 = sin ( beta ) / 490

<=> beta = arcsin ( 490 * sin ( alpha ) / 410 ) = 69,28 °

Mit dem Winkel beta kann man jetzt wiederum mit dem Kosinussatz die Länge F des Fußwegs berechnen. Es gilt:

F ² = 450 ² + 205 ² - 2 * 450 * 205 * cos ( 69,28 ° )

<=>  F  = √ ( 450 ² + 205 ² - 2 * 450 * 205 * cos ( 69,28 ° ) ) = 423,38 Meter