unbekannte im LGS ausrechnen?

Question

Aufgabe:

unbekannte im LGS ausrechnen?

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht wirklich mit dem LGS klar.Ich verstehe nicht wie man unbekannte ausrechnet.Ich brauche das, da ich zurzeit die Lagebeziehung zwischen zwei Geraden in der Schule als thema habe.Was ich bis jetzt alles weiß ist das ich erst schauen muss, ob die zwei gleichungen ein Vielfaches voneinander sind, wenn ja muss ich die Punktprobe machen, um herauszufinden ob sie Parallel oder Identisch sind.Wenn die Geraden nicht ein Vielfaches voneinander sind, muss ich das LGS aufstellen und die 2 unbekannten berechnen.Nach dem ich die unbekannten berechnet habe, muss ich sie in die dritte formel einsetzen die ich nicht benutzt habe.Wenn dort die Lösung wahr ist, schneiden sich die Graden, wenn nicht sind sie Windschief. Habe ich bis hier hin ein fehler gemacht und wie berechne ich die unbekannten im LGS?

Danke

Als Beispiel für so eine gleichung die ich im LGS ausrechnen muss:

8. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 5\end{array}\right) \) und der Geraden \( h . \)
a) \( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 8 \\ 14\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)

Answer 1

Erste Koordinate:

3+r=5 → r=2

In die anderen beiden einsetzen:

2+2*3=8 ✓

4+2*5=14+t → t=0

Schnittpunkt S(5|8|14)

:-)

Answer 2

Hallo. Das ist ein Teil deiner anderen Frage, du hättest auch bei deiner anderen Frage weiter diskutieren können.

Man muss hier kein Gleichungssystem aufstellen, denn wegen \(g(2)=h(0)\) haben g und h mindestens einen Punkt, nämlich (5|8|14), gemein. Da außerdem die Richtungsvektoren von g und h offensichtlich keine Vielfachen voneinander sind, schneiden sich die Geraden im Punkt (5|8|14).

Möchtest du dennoch das Gleichungssystem aufstellen und lösen?

Answer 3

Hallo,

für die gegenseitige Lage zweier Geraden

\(g: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot \vec{u}; r\in \mathbb{R} \quad \text{und}\\ h: \vec{x}=\vec{b}+s\cdot \vec{v}; s\in \mathbb{R}\)

gibt es vier verschiedene Möglichkeiten:

g und h schneiden sich in einem Punkt.

g und h verlaufen (echt) parallel

g und h sind identisch.

g und h verlaufen windschief zueinander.

Du kannst dich für die Lagebeziehung zweier Geraden an folgendes Schema halten:

Prüfen, ob \(\vec{u}=k\cdot \vec{v}\;\text{für }\; k\in \mathbb{R}\)

ja ⇒ \(g\parallel h\) Prüfen, ob \(A\in h\;\text{(Punktprobe)}\)

ja ⇒ g und ha sind identisch, sonst parallel

Wenn die Geraden nicht ein Vielfaches voneinander sind, muss ich das LGS aufstellen und die 2 Unbekannten berechnen. Nachdem ich die Unbekannten berechnet habe, muss ich sie in die dritte Formel einsetzen die ich nicht benutzt habe. Wenn dort die Lösung wahr ist, schneiden sich die Graden, wenn nicht sind sie windschief.

Richtig. Du hast also erst einmal ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Diese kannst du entweder mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren lösen. Vorher würde ich die Variablen auf eine Seite der Gleichung und die Zahlen auf die andere Seite bringen.

Dazu folgendes Beispiel:

\( \mathrm{g}: \quad \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right) \)

 \(\)

h: \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}-2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right) \)

\(\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}-2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)\) ergibt drei Gleichungen:

\(1=r-2x\\1=-2r+s\\0=-4r+4s\)

Multipliziere die 1. Gleichung mit 2 und addiere sie zur zweiten. Du erhältst

3 = -3s ⇒ s = -1

In die erste oder zweite Gleichung eingesetzt ergibt das r = -1

Setzte dann r = -1 und s = -1 in die nicht verwendete dritte Gleichung ein:

\( 0=-4\cdot (-1)+4\cdot (-1) 0=0\)

Diese wahre Aussage zeigt, dass sich die beiden Geraden schneiden.

Den Schnittpunkt berechnest du, indem du -1 für r in g oder -1 für s in h einsetzt.

Gruß, Silvia