Definiere für \(x>0\) die Funktion \(f\) durch \(f(x)=a+2x\ln x+bx\).
Untersuche \(f\) auf Extrema.
$$ f'(x)=2\ln x+b+2$$$$f''(x)=\frac2x.$$$$f'(x_E)=0\Rightarrow x_E=e^{-\tfrac{b+2}2}$$$$f''(x_E)=2e^{\tfrac{b+2}2}>0$$$$f(x_E)=a-2e^{-\tfrac{b+2}2}.$$Es liegt also im Punkt \(E(e^{-\tfrac{b+2}2}|a-2e^{-\tfrac{b+2}2})\) ein relatives Minimum vor. Da es keine weiteren relative Extrema gibt, muss in \(E\) ein absolutes Minimum vorliegen. Damit die Ungleichung für alle \(x>0\) gilt, muss also \(a\geq2e^{-\tfrac{b+2}2}\) gelten.
